Sirt tenglamasi. Fazoda tekislik va to'gri chiziq tenglamalari

Sirt tenglamasi. Fazoda tekislik va to'гri chiziq tenglamalari Reja: 1. Umumiy tushunchalar 2. Fazodagi tekislik tenglamalari. 3. Tekislikning kesmalardagi tenglamasi. 4. Tekislikning normal tenglamasi. 1. Umumiy tushunchalar. Faraz qilaylik, - iхtiyoriy o'zgaruvchi miqdorlar bo'lsin. Agar (1) tenglik larning faqat ayrim qiymatlaridagina o'rinli bo'lsa, u holda (1) ni larga nisbatan tenglama deb ataymiz. Uchta son (1) tenglamani qanoatlantiradi deymiz, agar (1) dagi noma'lumlar o'rniga shu sonlarni qo'yganda tenglik ayniyatga aylansa. (1) tenglamani qanoatlantiradigan хar bir sonlar uchligiga fazoning nuqtasini mos qo'yamiz. Bunday nuqtalarning geometrik o'rnini sirt deb ataymiz, (1) ni esa shu sirtning tenglamasi deymiz. Agar sirt tenglamasi berilgan bo'lib, biror nuqtaning shu sirtda yotish yoki yotmasligini tekshirish talab qilingan bo'lsa, u holda berilgan nuqtaning koordinatalarini tenglamaning noma'lumlari o'rniga qo'yish kifoya. Analitik geometriyaning vazifasi qaralayotgan sirtni uning tenglamasi yordamida o'rganishdir. Sirtning iхtiyoriy nuqtasi uning ¢zgaruvchi nuqtasi deb ataladi. Misol sifatida sferaning tenglamasini tuzaylik. Sferaning ta'rifiga ko'ra, sferaning markazi deb ataluvchi nuqtadan sferaning ¢zgaruvchi nuqtasi orasidagi masofa o'zgarmasdir. Demak, yoki Agar sferaning markazi koordinatalar boshida bo'lsa, u holda Fazodagi analitik geometriyada asosan algebraik tenglamalar bilan ifodalangan sirtlar o'rganiladi. Masalan, tenglamasi (2) ko'rinishda bo'lgan sirt 1-tartibli sirt deb ataladi. Tenglamasi (3) bo'lgan sirtlarni 2-tartibli sirtlar deb ataymiz. YUqorida ko'rilgan misoldan sfera 2-tartibli sirt ekanligi kelib chiqadi. 2. Fazodagi tekislik tenglamalari. Teorema 1. Dekart koordinatalar sistemasida tekislik 1-tartibli sirtdir. Isboti. Biror dekart koordinatalar sistemasida berilgan tekisligida uning biror nuqtasi va unga perpendikulyar o'tgan qandaydir vektor berilgan bo'lsin. Faraz qilaylik , tekislikning silguvchi nuqtasi bo'lsin. Bu nuqta tekisligida yotishi uchun vektor ga perpendikulyar bo'lishi shart, ya'ni , . Vektorlarning perpendikulyarlik shartidan yoki (4) kelib chiqadi . Agar nuqta tekisligida yotmasa, (4) o'rinli bo'lmaydi, shu sababli (4) tenglik nuqtaning o'rnini to'la aniqlaydi. Agar (4) dagi qavslarni ochib va deb belgilasak, hosil bo'ladi. Teorema isbot bo'ldi. Tekislikka perpendikulyar bo'lgan nol bo'lmagan хar qanday vektor tekislikka normal vektor deb, shu sababli, (4) tenglama normal vektori bo'lib , nuqtadan o'tgan tekislik tenglamasi deb ataladi. Teorema 2. Dekart koordinatalar sistemasida хar qanday 1-tartibli tenglama tekislikni aniqlaydi. Isboti. Biror dekart koordinatalar sistemasida (3) tenglama berilgan bo'lsin. Faraz qilaylik, lar shu tenglamaning biror echimi bo'lsin, ya'ni (3) ni qanoatlantiruvchi sonlar bo'lsin. U holda (5) bo'ladi. (3) dan (5) ni ayirsak hosil bo'ladi. Ma'lumki, bu tenglama normal vektori bo'lib , nuqtadan o'tgan tekislik tenglamasidir. (4) tenglama (3) ga ekvivalent bo'lgani uchun (3) ham tekislikning tenglamasi bo'ladi. Teorema isbot bo'ldi. Tekislikning (3) tenglamasini uning umumiy tenglamasi deb ataymiz. Misol. vektorga perpendikulyar bo'lib, nuqtadan o'tgan ...