Sonli differentsiallash. Oddiy differentsial tenglamalarni taqribiy yechish usullari. Pikar algoritmi

Sonli differensiallash. Oddiy differensial tenglamalarni taqribiy yechish usullari. Pikar algoritmi Reja: Sonli differensiallash. Umumiy mulohazalar. differensial tenglamalar. Koshi masalasi. Ketma-ket yaqinlashish usuli (Pikar algoritmi). Tayanch iboralar: differensial tenglama, xususiy hosilali differensial tenglama, integral egri chizig'i, umumiy yechim, boshlang'ich shartlar, Koshi masalasi, Pikar algoritmi, analitik usul, grafik usul, raqamli usul, integral tenglama. SONLI differensialLASH. UMUMIY MULOHAZALAR Ko'p amaliy masalalarda funksiya hosilalarini ayrim nuqtalarda taqribiy hisoblashga to'g'ri keladi. Bu masala sonli differensiallash masalasi deyiladi. funksiyaning analitik ko'rinishi noma'lum bo'lib uning ayrim nuqtalaridagi qiymatlari ma'lum bo'lsa, masalan, tajribadan topilgan bo'lsa, u holda uning hosilasi sonli differensiallash yo'li bilan topiladi. Umuman aytganda, funksiyani sonli differensiallash masalasi doimo bir qiymatli ravishda echilavermaydi. Masalan, f(x) funksiyaning x=x0 nuqtadagi hosilasini topish uchun h0 ni olib, (13.1) yoki (13.2) yoki (13.3) kabi olishimiz mumkin. Ko'pincha (13.1) o'ng hosila, (13.2) chap hosila va (13.3) markaziy hosila deyiladi. differensial TENGLAMALAR Agar tenglamada noma'lum funksiya hosila yoki differensial ostida qatnashsa, bunday tenglama differensial tenglama deyiladi. Agar differensial tenglamada noma'lum funksiya faqat bir o'zgaruvchiga bog'liq bo'lsa, bunday tenglama oddiy differensial tenglama deyiladi. Masalan: Agar differensial tenglamadagi noma'lum funksiya ikki yoki undan ortiq o'zgaruvchilarga bog'liq bo'lsa, bunday tenglama xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi. Masalan: differensial tenglamaning tartibi deb, shu tenglamada qatnashuvchi hosilaning (differensialning) eng yuqori tartibiga aytiladi. Masalan: birinchi tartibli tenglamalar, esa 4-tartibli differensial tenglamalardir. Mavzularda faqat oddiy differensial tenglamalarni ko'rib chiqamiz. n - tartibli oddiy differensial tenglamaning umumiy ko'rinishi quyidagicha: (13.4) bu yerda x - erkli o'zgaruvchi; y - noma'lum funksiya, - noma'lum funksiyaning hosilalari. (13.4) ni ko'p hollarda quyidagi ko'rinishda yozish mumkin: (13.5) (13.5) ning yechimi (yoki integrali) deb uni qanoatlantiruvchi shunday funksiyaga aytiladiki, ni (13.5) ga qo'yganda u ayniyatga aylanadi. Oddiy differensial tenglama yechimining grafigi uning integral egri chizig'i deyiladi. n-tartibli differensial tenglamaning yechimida n ta erkli o'zgarmas son qatnashadi. Bu o'zgarmas sonlarni o'z ichiga olgan yechim umumiy yechim deyiladi. Umumiy yechimning grafik ko'rinishi integral egri chiziqlar dastasini ifodalaydi. Umumiy yechimda qatnashuvchi erkli o'zgarmaslarning aniq son qiymatlari ma'lum bo'lsa umumiy yechimdan xususiy yechimni ajratib olish mumkin. Umumiy yechimga kiruvchi erkli o'zgarmaslar masalaning boshlang'ich shartlaridan aniqlanadi. Bunda masala quyidagicha qo'yiladi: (13.4) differensial tenglamaning shunday yechimi ni topish kerakki, bu yechim erkli o'zgaruvchi x ning berilgan qiymati x=x0 da quyidagi qo'shimcha shartlarni qanoatlantirsin: (13.6) (13.6) shartlar boshlang'ich shartlar deyiladi, - sonlar esa yechimning boshlang'ich qiymatlari deyiladi. Boshlang'ich shartlar (13.6) yordamida umumiy yechimdan xususiy yechimni ajratib olinadi. 3. KOSHI MASALASI differensial tenglamaning yechimini boshlang'ich shartlar asosida topishga Koshi masalasi deyiladi. Birinchi tartibli differensial ...