Tekislik tenglamalari

Tekislik tenglamalari Reja: 1. Tekislikning umumiy tenglamasi 2. Tekislikning fazodagi vaziyatlari 3. Tekislikning kesmalar bo'yicha tenglamasi 4. Ikki tekislik orasidagi burchak 5. Tekisliklarning paralellik va perpendikulyarlik sharti Tekislikning umumiy tenglamasi Ixtiyoriy tekislik tenglamasini to'g'ri burchakli dekart koordinatalari 0xyz sistemasida tuzish masalasini qaraymiz. Uch o'lchovli fazoda ixtiyoriy Q tekislikni qaraymiz. Mo (xo, yo, zo) shu tekislikning biror nuqtasi, noldan farqli va tekislikka perpendikulyar vektor bo'lsin. Bu holda tekislikning har qanday M (x, y, z) nuqtasi uchun va - vektorlar perpendikulyar bo'ladi. (1-chizma). Demak (,)=0. (1) Faraz qilaylik, A, B, C sonlar vektorning koordinatalari bo'lsin: A,B,C Ravshanki, =-0=x-xo, y-yo, z-zo. Shuning uchun (1) dan A (x-xo) + B(y-yo)+C(z-zo)=0 (2) Bu talab qilingan tenglamadir. Demak, qo'yidagi tasdiq isbotlandi. 1-tasdiq. Har qanday tekislik x, y va z o'zgaruvchi koordinatalarga nisbatan birinchi darajali algebrik tenglama bilan tasvirlanadi. Xusussiy holda Q tekislik Ox va Oy o'qlari ustida yotsa uning tenglamasi z=0 ko'rinishda birinchi darajali algebraik tenglama bilan tasvirlanadi. Haqiqatan bu tenglamani Q tekislikda yotuvchi istalgan nuqtaning koordi natlari qanoatlantiradi. Endi Oxy to'g'ri burchakli dekart koordinatalari sistemasini olib, ixtiyoriy birinchi darajali Ax+By+Cz+D=0 (3) algebraik teglamani qaraymiz. Faraz qilaylik, xo, yo, zo- bu tenglamaning biror yechimi bo'lsin. U holda Mo (xo, yo, zo) nuqtaning koordinatalari bu tenglamani qanoatlantiradi: Axo+Byo+Czo+D=0 (4) Endi (3) va (4) larni ayrib (3) tenglamaga ekvivalent bo'lgan qo'yidagi tenglamani hosil qilamiz: A(x-xo) +B (y-yo)+ C(z-zo)=0 (5) Yuqorida ko'rgagnimizdek (5) tenglama ushbu (,)=0 tenglamaga ekvivalent. Demak Mo nuqtadan o'tib vektorga perpendikulyar bo'lgan tekislikning hamma nuqtalari (faqatgina shular) berilgan tenglamani qanoatlantiradi. Demak, tenglama shu tekislik tenglamasidir. Shunday qilib, qo'yidagi tasdiq isbotlandi. 2- tasdiq. x, y, z o'zgaruvchilarga nisbatan birnchi darjali har qanday Ax+By+Cz+D=0 tenglama tekislikni tasvirlaydi. (3) tenglama tekislikning umumiy tenglamasi deyiladi. Misol: M (1,-2,3) nuqtadan o'tib -vektorga perpendikulr bo'gan tekislik tenglamasini to'zing. yechish: Berilishiga ko'ra, A=2, B=0, C=4. (2) formulaga ko'ra 2(x-1)+0(y+2)+4(z-3)=0 ga ega bo'lamiz. Buni soddalashtirib izlangan tenglamani topamiz: x+2z-7=0 Tekislikning fazodagi vaziyatlari Tekislikning ushbu Ax+By+Sz+D=0 (3) ko'rinishdagi umumiy tenglamasini qaraymiz. Bu yerda A, B, C, Dlar istalgan haqiqiy sonlar bo'lib, A, B, C larning aqalli bittasi noldan farqli bo'lishi kerak. Agar A, B, C, D larning barchasi noldan farqli bo'lsa (3) tenglama to'liq deb ataladi. Agar bularning birortasi nolga teng bo'lsa, uni to'liqsiz tenglama deb ataladi. To'liqsiz tenglamalarning mumkin bo'lgan barcha ko'rinilarini qaraymiz va ularning koordinatlar sistemasiga nisbatan joylashishdagi xususiyatlarini anqilaymiz. 1. Agar (3) tenglamadagi ozod had D=0 bo'lsa, tenglama Ax+By+Cz=0 ko'rinishga keladi va bu tenglama koordinatalar boshidan o'tgan tekislikni tasvirlaydi. 2. A=0. Bu ...