To'la differensial tenglama. Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli tenglamalar

To'la differensial tenglama. Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli tenglamalar Reja To'la differensial tenglama. Integrallovchi ko'paytuvchi. Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli tenglamalar. a. Lagranj tenglamasi. Klero tenglamasi. To'la differensial tenglama 1- ta'rif Agar M(x,y)dy+N(x,y)dy=0 (3.1) tenglamada M(x,y), N(x,y) funksiyalar uzluksiz, differensiallanuvchi bo'lsa, va My=Nx (3.2) munosabat bajarilsa, (3.1) to'la differensial tenglama deyiladi, bunda My, Nx - uzluksiz funksiyalar. (3.1) tenglamani integrallashga o'tamiz. (3.1) tenglamaning chap tomoni biror U(x,y) funksiyaning to'la differensiali bo'lsin deb faraz qilamiz, ya'ni M(x,y)dx+N(x,y)dy=dU(x,y), dUdx =(Ux)dx+(Uy)dy u holda M=Ux, N=Uy (3.3) Ux=M munosabatdan ni topamiz. Bu tenglikni har ikki tomonini u bo'yicha differensiallab natijani N (x,y) ga tenglaymiz: bo'lgani uchun yoki Demak Shunday qilib ko'rinishda bo'ladi. dU=0 bo'lganda , U(x,y)=C. Demak, umumiy integral (3.4) Integrallovchi ko'paytuvchi (3.1) tenglamada (3.2) munosabat bajarilmasin. Ba'zan shunday funksiyani tanlab olish mumkinki, (3.1) tenglamani shu funksiyaga ko'paytirganda tenglamaning chap tomoni biror funksiyaning to'la differensialini ifodalaydi. Bunday tanlangan (x,y) funksiyaga (3.1) tenglamaning integrallovchi ko'paytuvchisi deyiladi. (x,y) ni topish usuli: (3.1) ni (x,y) ga ko'paytiramiz Mdx+Ndy=0 Keyingi tenglama to'la differensialli tenglama bo'lishi uchun (3.2) munosabat bajarilishi zarur va etarli: Oxirgi tenglamaning har ikki qismini ga bo'lib (3.5) munosabatni hosil qilamiz. (3.5) tenglamani qanoatlantiruvchi har qanday (x,y) funksiya (3.1) tenglamaning integrallovchi ko'paytuvchisi bo'ladi. (3.5) tenglama (x,y) funksiyaga nisbatan xususiy hosilali tanglama. Ma'lum shartlar bajarilganda bu tenglama yechimga ega. Lekin umumiy holda (3.5) ni yechish (3.1) ni integrallashga qaraganda ancha murakkab. Ba'zi bir xususiy hollardagina (x,y) ni topish mumkin: (x,y) faqat y o'zgaruvchiga bog'liq bo'lsin: =(y) U holda oddiy differensial tenglama hosil bo'ladi. Bu tenglamani yechib ni topamiz. =(x) bo'lsa bo'ladi. Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli tenglamalar Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli tenglama umumiy holda quyidagi ko'rinishda bo'ladi: F(x,y,)=0 (3.6) Agar bu tenglamani y' ga nisbatan yechish mumkin bo'lsa, u holda bir yoki bir necha tenglama hosil bo'ladi. =f(x,y) (i=1,2) Bu tenglamalarni integrallab, (3.6) tenglama yechimlarini hosil qilamiz. Lekin (3.6) tenglamani har doim ga nisbatan oson yechilmaydi va ga nisbatan tenglamalar sodda integrallanmasligi mumkin. Shuning uchun (3.6) tenglamani boshqa usullarda integrallash qulay bo'ladi. Quyidagi hollarni qaraymiz. F()=0, bunda hech bo'lmaganda tenglamaning bitta =ki yechimi mavjud bo'lsin. Tenglama x va y o'zgaruvchilarga bog'liq bo'lmaganligi sababli, ki=const. y'=ki ni integrallab y=kix+C yoki ki=(y-C)x. ki berilgan tenglama yechimi ekanligidan F((y-C)x)=0 qaralayotgan tenglama yechimi bo'ladi. Misol ()7 - ()5++3=0 tenglama integrali ((y-C)x)7-((y-C)x)5+(y-C)x+3=0 (3.6) tenglama quyidagi ko'rinishda bo'lsin. F(x, )=0 (3.7) Agar tenglamani y' ga nisbatan yechish qiyin bo'lsa, u holda t parametr kiritish bilan (3.7) ikkita tenglamaga keltiriladi: x=(t) va =(t) ...