Uzluksiz bo'lgan funksiyalarning xossalari. Teskari funksiyaning mavjudligi va uzluksizligi

Uzluksiz bo'lgan funksiyalarning xossalari Teskari funksiyaning mavjudligi va uzluksizligi Reja: Haqiqiy ko'rsatkichli daraja. Ko'rsatkichli funksiya. Giperbolik funksiyalar. Logarifmik funksiya. Darajali funksiya. Teskari funksiyaning mavjudligi va uzluksizligi. Tekis uzluksiz funksiya, Kantor teoremasi. Nuqtada uzluksiz funksiyalarning xossalari. Kesmada uzluksiz funksiyalarning chegaralanganligi, eng kichik va eng katta qiymatlar. Uzluksiz funksiyaning nolga aylanish haqidagi teorema. Uzluksiz funksiyaning oraliq qiymatlari haqidagi teorema. 10. Agar f(x) funksiya nuqtada uzluksiz bo'lsa, u holda x ning ga yetarlicha yaqin qiymatlarida f(x) funksiya chegaralangan bo'ladi. 20. Agar f(x)funksiya nuqtada uzluksiz, f()0 (f()0 (f(x)n ni qanoatlantiradigan xn [a;b] nuqta topiladi. Bol'tsano-Veyershtrass teoremasiga binoan (xn) ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi () qismiy ketma-ketlik ajratib olish mumkin. =[a;b] deylik. Funksiya uzluksiz bo'lganligi uchun f(x)f() bo'ladi. Ikkinchi tomondan f()nk dan f() kelib chiqadi. Bu qarama-qarshilik farazimizning noto'g'ri ekanligini ko'rsatadi. Eslatma: Teoremadagi har bir shart muhim bo'lib, ularning birortasi bajarilmasa teoremaning xulosasi ham o'rinli bo'lmasligi mumkin. Misol. 1. y=tgx funksiya (-) da uzluksiz, lekin chegaralanmagan. 2. f(x)= funksiya [0;1] da aniqlangan, lekin chegaralanmagan. Teorema. (Veyershtrassning ikkinchi teoremasi). Agar f(x) funksiya [a;b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo'lsa, funksiya shu segmentda o'zining aniq quyi va aniq yuqori chegaralariga yerishadi. Isbot. Teoremaning xulosasini quyidagicha aytish mumkin, ya'ni [a;b] segmentda shunday x1 va x2 nuqtalar topiladiki, f(x1)=f(x), f(x2)=f(x) bo'ladi (ya'ni f(x1) - f(x) funksiyaning [a;b] segmentdagi eng katta qiymati, f(x2) esa eng kichik qiymati). f(x) funksiya [a;b] da uzluksiz bo'lgani uchun Veyershtrassning birinchi teoremasiga binoan f(x) [a;b] da chegaralangan, demak aniq yuqori va aniq quyi chegaralarga ega: f(x)=M , f(x)=m deylik. Endi [a;b] da biror x1 nuqtasi uchun f(x1)=M bo'lishini ko'rsatamiz. Teskarisini faraz qilaylik, ya'ni barcha x [a;b] larda f(x)0 son topilib, (x) bo'ladi. Bundan f(x) M- bo'lib, M- f(x) funksiyaning yuqori chegarasi ekanligi kelib chiqadi. Bu qarama-qarshilik farazimizning noto'g'ri ekanligini ko'rsatadi. Eslatma. Teoremadagi har bir shart muhim bo'lib, ularning birortasi bajarilmasa uning xulosasi ham o'rinli bo'lmasligi mumkin. Misol. f(x)=x-[x] funksiya ixtiyoriy b1 uchun [a;b] segmentda qiymatlar to'plami E(f)=[0;1) bo'lib, [a;b] da o'zinig yuqori chegarasiga erishmaydi. Uzluksiz funksiyaning nolga aylanishi haqidagi teorema. Teorema. (Bol'tsano-Koshining birinchi teoremasi). Agar f(x) funksiya [a;b] segmentda ...