Variatsion usulga oddiy misollar

Variatsion usulga oddiy misollar Reja: 1. Garmonik otsillyatorning kuyi holat energiyasi va to'lqin 2. Garmonik otsillyatorning birinchi uygongan holati energiyasini va to'lqin funksiyasi hisoblash 3. Vodorod atomining asosiy (kuyi) 1s - holat energiyasini va to'lqin funksiyasi hisoblash 4. Vodorod atomining birinchi uygongan 2s - holati energiyasini va to'lqin funksiyasi hisoblash Demak, variatsion usulning mohiyatiga ko'ra, Gamiltonian H berilgan bo'lib, nomalum funksiya (sinov funksiyasi) shunday konstruksiya qilib tanlanadiki (19) integral qiymati minimumga erishsin (E[]- funksional deyiladi, uning argumenti son emas, balki funksiyadir ). Shunda biz eng kuyi holat energiyasi va xususiy funksiyasini takribiy yoki katta aniklikda topa olamiz. Sodda misollar ustida shu usulni ko'rib chikaylik. A) Garmonik otsillyatorning kuyi holat energiyasi va to'lqin funksiyasi hisoblash Bir o'lchovli garmonik otsillyator Gamiltoniani berilgan bulsin (20) Potentsial energiya x = da cheksiz bo'lgani sababli zarracha cheksizlikka ketolmaydi va shuning uchun -funksiya ko'rinishini ( x = ) =0 buladigan qilib tanlaymiz, masalan (21) Bu funksiyada nomalumlar ikkita bo'lib, A - ni normallashtirish shartidan, variatsion parametr ni esa (19) ni minimum shartidan topamiz. Normallashtirish shartiga ko'ra (22) Oxirgi tenglikdan ( integral jadval integraliga keltirish mumkin ) A - ni topamiz (23) (20) va (21) ni (19) ga kuyib differensiallash va integrallashni bajarib, kuyidagiga ega bulamiz (24) E[ ] ning bo'yicha minimum qiymati 0 = m ћ ga teng bo'lib, asosiy holat energiyasi qiymati uchun kuyidagiga ega bulamiz (25) Bunga mos (21) da keltirilgan to'lqin funksiyasi endi kuyidagicha ko'rinish oladi (26) Ushbu holda biz garmonik otsillyatorning kuyi holat energiyasi va to'lqin funksiyasini aniq yechimiga keldik. B) Garmonik otsillyatorning birinchi uygongan holati energiyasini va to'lqin funksiyasi hisoblash Garmonik ostsillyatorning birinchi uygongan holati energiyasi va to'lqin funksiyasini hisoblash uchun, birinchi uygongan holat sinov funksiyasi 1 ni asosiy holat to'lqin funksiyasi 0 ga ortogonal qilib olish kerak. Bu shartni kanoatlantiruvchi eng oddiy funksiya kuyidagicha olinadi (27) Normallashtirish shartidan (28) integralni ( jadval integraliga keladi ) hisoblab B koeffitsiyentni topib olamiz (29) Energiyani topish uchun quyidagi integralni hisoblaymiz (30) E[] ning bo'yicha minimum qiymati 0 = m ћ ga teng bo'ladi. Bu qiymatni (30) ifodaga kuyib, garmonik ostsillyatorni birinchi uygongan holat energiyasi qiymati uchun kuyidagiga ega bulamiz (31) Endi 0 = m ћ ifodani qiymatni (27) ifodaga kuyib, garmonik ostsillyatorni birinchi uygongan holat to'lqin funksiyasi uchun kuyidagiga ega bulamiz (32) S) Vodorod atomining asosiy (kuyi) 1s - holat energiyasini va to'lqin funksiyasi hisoblash Vodorod atomi uchun Gamilton operatori kuyidagicha bo'ladi (33) Markaziy sferik simmetrik maydondagi harakatda elektron malum ...