Variatsion usulning asosiy teoremasi

Variatsion usulning asosiy teoremasi Reja: 1. Kirish 2. Energiyaning minimum prinsipi yuqorida ko'rib utilgan statsionar holatlar energiyasini aniklovchi Shredinger tenglamasining aniq yechimi - ayrim sodda xollardagina mavjud xolos. Masalan. ideallashtirilgan sodda masalalardan: potentsial ura, potentsial tusik, garmonik ostsillyator kabilar, echilishi oson bo'lgan real masalalardan: vodorod atomi kabi masalalar aniq yechimga ega. Kupgina masalalarni yechishda ( Gamiltonianni xususiy funksiyalari va xususiy qiymatlarini topishda ) takribiy usullardan foydalanishga majbur bulamiz. Oddiygina Vodorod atomidan keyingi Geliy atomi masalasi bunsha yakkol misoldir. Bugungi kunda ushbu murakkab masalalarni EVM lar yordamida takribiy yechish katta ahamiyat kasb etmokda. Shunday takribiy usullardan biri variatsion usul bo'lib, u na fakat atomlar uchun, balki qattiq jism fizikasida, molekulalarni kvanto-ximik masalalarida keng mikyosda foydalaniladi. Variatsion usul - quyidagi teoremaga asoslangan: Agar sistema Gamiltoniani H berilgan (malum) bo'lib, E0- energiya shu Gamiltonianning eng kuyi holat ( eng kichik aniq yechimi ) energiyasi bulsa, u holda ixtiyoriy normallashtirilgan funksiya uchun quyidagi tengsizlik urinli (10) Bu teorema kuyidagicha isbotlanadi. Malumki, ixtiyoriy funksiyani ( ni ), Gamiltonianning ortonormallashgan ixtiyoriy boshqa xususiy funksiyalari i bo'yicha kator ko'rinishda tasvirlash mumkin. (11) - funksiya normallashgani sababli, (12) (10) dagi integral qiymatini E deb belgilasak, (11) dan foydalanib kuyidagiga ega bulamiz (13) Bu yerdagi i va j funksiyalar H - Gamiltonianning ortonormallashgan xususiy funksiyalari bo'lgani uchun, yani (14) U holda (13) ni kuyidagicha yozish mumkin (15) (12) ni hisobga olib, (15) ni kuyidagicha yozish mumkin (16) Bu yerda E0- kidirilayotgan energiyaning aniq qiymati. (16) da barcha ci koeffitsiyentlar uchun 0 ci 1 bo'lgani uchun va E0 i bo'lgani uchun doimo E 0 E bajariladi. Demak (10) tengsizlik doimo urinli ekan. Agar (10) integraldagi 0 - funksiya H - Gamiltonianning aniq kuyi holat xususiy funksiyasi bulsa u holda (10) tengsizlik - tenglikka aylanadi (17) Variatsion usulning mohiyati kuyidagicha: masala Gamiltoniani H beriladi, nomalum - funksiyani shunday konstruksiya qilib tanlanadiki, (10) dagi integral qiymati minimumga intilsin. -funksiyani konstruksiya qilishda uning ko'rinishini masala mohiyatiga karab va chegaraviy shartlar bajariladigan qilib tanlanadi. -funksiya imkon boricha deformatsiyalanuvchi ki lib tuziladi va uning tarkibiga istalgancha 1, 2, 3 … N, variatsion parametrlar kiritilishi mumkin. -funksiya ko'rinishini k onstruksiya qilib bulgach, (10) dagi integral qiymatini hisoblashga utiladi. Bu imkon bulsa analitik aks holda sonli hisoblanadi. 1, 2, 3 … N variatsion parametrlar ni qiymati (10) dagi integralni minimumga erishish shartidan topiladi. (10) dagi integral qiymatini E deb belgilasak bu shartlar kuyidagicha (18) ...