Vektor funksiya tushunchasi. Vektor funksiya uchun differentsial va integral amallar

Vektor funksiya tushunchasi. Vektor funksiya uchun differensial va integral amallar Reja: 1. Skalyar argumentli vektor funksiya. 2. Vektor funksiyaning limiti va uzluksizligi. 3. Vektor funksiyalarni differensiallash. 4. Vektor funksiyalarni integrallash. 5. Takrorlash uchun savollar. 6. Uyga vazifa. 1. Skalyar argumentli vektor funksiya. Aytaylik V uch o'lchovli (n o'lchovli) evklid vektor fazosi, to'g'ri chiziq kesmasi berilgan bo'lsin. Agar qandaydir qoida bo'yicha har bir soniga vektor fazoning tayinlangan vektori mos qo'yilgan bo'lsa, u holda kesmada (oraliqda) skalyar argumentli vektor - funksiya berilgan deyiladi. Ko'ramizki vektor uzunligi odatdagi skalyar funksiyadir. kesmada aniqlangan vektor funksiya uchun nuqtaning atrofida funksiya cheksiz kichik miqdor bo'lsa, u holda vektor funksiya nuqta atrofida cheksiz kichik deyiladi. 2. Vektor funksiyaning limiti va uzluksizligi. vektor - funksiya uchun o'zgarmas vektor mavjud bo'lib, da vektor cheksiz kichik, yani bo'lsa, u holda vektor vektor funksiyaning dagi limiti deyiladi va deb belgilanadi. Agar nuqtada tenglik o'rinli bo'lsa, u holda vektor funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi. oraliqning barcha nuqtalarida uzluksiz bo'lgan vektor funksiya oraliqda uzluksiz deyiladi. 3. Vektor - funksiyani differensiallash. I oraliqda tI nuqta olib, t ga t orttirma beramizki t + tI bo'lsin. vektorni tuzamiz. Agar chekli limit mavjud bo'lsa, u holda Endi vektor - funksiyaning V vektor fazodagi koordinatalari bilan tanishamiz. Biror ortonormal bazis (n-o'lchovli fazoda ) olib, har bir nuqtada vektorni (1) yoyilmani tuzamiz. Demak, vektor - funksiya I oraliqda aniqlangan skalyar funksiyalarni aniqlaydi. Bu funksiyalar vektor - funksiyaning bazisdagi koordinatalari deyiladi. (1) tenglikdan ko'rinadiki, vektor - funksiya nuqtada uzluksiz bo'lishi uchun uning har bir koordinatasi shu nuqtada uzluksiz bo'lishi zarur va etarlidir. Agar o'zgarmas vektor bo'lsa, u holda (2) tenglikni yozish mumkin. (2) tenglikdan, bo'lishi uchun tengliklarning bajarilishi zarur va etarlidir. Teorema. I oraliqda aniqlangan va (1) yoyilma bilan berilgan koordinatalarga ega bo'lgan vektor - funksiya differensiallanuvchi bo'lishi uchun x(t),y(t),z(t) funksiyalarning har biri differensiallunvchi bo'lishi zarur va etarlidir. Shu bilan birga (3) Misol. - ortonormal bazis, a,b lar o'zgarmas sonlar. Bu vektor - funksiyaning koordinatalari vektor - funksiya differensiallanuvchi va uning hosilasi bo'ladi. Endi vetkor - funksiyalarni differensiallash qoidalarini ko'ramiz. I oraliqda differentsillanuvchi vektor - funksiyalar va f(t) skalyar funksiya uchun quyidagi tengliklar o'rinlidir. 10. 20. 30. 40. Bu tengliklarni isbotlash qiyin emas. Masalan, 40 xossani isbotlaylik. ortonormal bazisda bo'lib vektor koordinatalargi ega bo'ladi. Yuqoridagi teoremaga ko'ra . Skalyar funksiyalarni differensiallash qoidasiga asosan 40 tenglik kelib chiqadi. . Lemma. Agar I oraliqda bo'lsa, u holda har bir nuqtada vektor hosilaga ortogonal bo'ladi. Isbot. I oraliqda bo'lib, uni t bo'yicha differensiallasak ...