Vektor maydon uyurmasi. Uyurmaning invariant ta'rifi

Vektor maydon uyurmasi. Uyurmaning invariant ta'rifi. Reja Vektor maydon uyurmasi. chiziqli integralning integrallash yo'liga bog'liq bulmasligining shartlari. Faraz kilaylik, Oxuz fazoning sohasida quyidagi vektor maydon berilgan bulsin : (M)= T A ' R I F : (M) vektor maydonning uyurmasi (yoki rotori) deb, M nuqtaning rot(M) bilan belgilanadigan va rot(M)= (8.1) formula bilan aniklanadigan vektor maydoniga aytiladi, bunda xususiy hosillarni M(x,u,z) nuqtada topamiz. M i s o l : (M)= vektor maydonning uyurmasini toping. Ye ch i sh: ga egamiz. Xususiy hosillarni topamiz: Demak, rot= Uyurma tushunchasidan foydalanib, (7.4) Stoks formulasini vektor shaklida kuyidagicha yozish mumkin: (8.2) va bunday ifodalash mumkin: vektorning sirtni chegaralovchi L konturni aylanib chiqishning musbat yo'nalishi bo'yicha tsirkulyatsiyasi rot vektorning shu sirt orqali utadigan okimiga teng. Uyurmaning ta'rifidan foydalanib, quyidagi xossalarning to'g'ri ekaniga ishonch hosil qilish mumkin: 1) rot()=rot+rot; 2) rot(C)=Crot, bunda S- uzgarmas skalyar kattalik. 3) rot(u)=urot+(gratu)x, bunda u=u(M) skalyar maydonni aniklovchi funksiya. Uyurmaning yuqorida keltirilgan ta'rifi koordinatalar sistemasini tanlashga bog'liq. Endi uyurmali maydonga invariant ta'rif beramiz: Faraz kilaylik, - ixtiyoriy belgilangan birlik vektor D esa M nuqtani o'z ichiga olgan L chegarali yassi shakl bo'lib, u vektorga perpendikulyar bulsin. (7.2.) Stoks formulasini ko'rinishda yozamiz, chunki o'rta qiymat haqidagi teoremaga muvofik bundan , bu yerda S yuz - D coxaning yuzi, M1 - bu sohadagi biror nuqta. Oxirgi tenglikda D sohani M nuqtaga tortib (yoki S0 da), limitga utamiz, bunda M1 nuqta M nuqtaga intiladi : yoki T A ' R I F : Vektor maydon uyurmasi deb, shunday vektorga aytiladiki, uning biror yo'nalishga bo'lgan proyeksiyasi shu yo'nalishga perpendikulyar bo'lgan D yassi yuzning L kontur bo'yicha vektor maydon tsirkulyatsiyasining S yuzning kattaligiga nisbatiga teng, bunda yuzning o'lchamlari nolga intiladi (S0), yuzning o'zi esa nuqtaga tortiladi. Vektor maydon uyurmasi tushunchasining fizik manosini beramiz. qattiq jismning kuzgalmas nuqta atrofidagi harakatini karab chiqamiz. Kinematikada tezliklar maydoni v istalgan momentda formula bilan aniklanadi, bunda - oniy burchak tezlik, - jismning ixtiyoriy M nuqtasining radius vektori Agar ekani malum bulsa, u holda kuyidagiga ega bulamiz. Endi rot vektorning proyeksiyalarini topamiz: ; ; ; Shunday qilib, rot ekanini hosil kildik. Demak, tezlik maydoni uyurmasi qattiq jism aylanishining oniy burchak tezligi vektoriga kollinear vektordir : rot= Faraz kilaylik, quyidagi vektor maydon berilgan bulsin: (8.3) R, Q, R funksiyalar uzlarining birinchi tartibli xususiy hosilalari bilan birga Oxuz fazoning xammasida, yoki fazoning biror sohasida uzluksiz bo'ladi deb faraz kilamiz. Faraz kilaylik, A va V nuqtalar sohaning ikkita ixtiyoriy nuqtasi bulsin. sohada yotuvchi va A ...