Xususiy hosilali differentsial tenglamalar va ularning klassifikatsiyasi

Xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularning klassifikatsiyasi Reja: 1. Xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularning yechimi to'g'risida tushuncha. 2. Xarakteristik forma tushunchasi. 3. Ikkinchi tartibli differensial tenglamalarning klassifikatsiyasi va kanonik ko'rinishi. 1. Xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularning yechimi to'g'risida tushuncha. bo'lib -ochiq bog'limli soha bo'lsin. -Evklid fazosi - ortogonal dekart koordinatalar sistemasidagi nuqta- ning koordinatalari. Tartiblangan manfiy bo'lmagan ta butun sonning ketma-ketligi -tartibli mu'lteindeks deyiladi, son mu'lteindeksning ug'unligi deyiladi. funksiyaning nuqtadagi tartibli hosilasini , Xususiy hoda ko'rinishda belgilashimiz bo'lganda , , funksiya sohada nuqtaning va , haqiqiy o'zgaruvchining berilgan funksiyasi bo'lib, kamida bitta hosila noldan farqli bo'lsin. Ushbu (1) tenglik noma'lum funksiyaga nisbatan tartibli xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi. (1) tenglamaning o'ng tomoni esa xususiy hosilali differensial operator deyiladi. Agar barcha o'zgaruvchilarga nisbatan chiziqli funksiya bo'lsa, (1) tenglama chiziqli differensial tenglama deyiladi. Agarda , bo'lganda barcha o'zgaruvchilarga nisbatan chiziqli funksiya bo'lsa, (1) tenglama kvazichiziqli differensial tenglama deyiladi. Misollar: 1) - bu uchinchi tartibli ikki o'zgaruvchili chiziqli tenglama. 2) - bu ikkinchi tartibli uch o'zgaruvchili kvazichiziqli tenglama. 3) - bu uchinchi tartibli ikki o'zgaruvchili chiziqli bo'lmagan tenglama. sohada aniqlangan funksiya (1) tenglamada ishtirok etuvchi barcha hosilalarri bilan uzluksiz bo'lib, uni ayniyatga aylantirsa, ga (1) tenglamaning regulyar (klassik) yechimi deyiladi. Xususiy hosilali tartibli chiziqli differensial tenglamani ushbu (2) ko'rinishda yozib olish mumkin. Barch lar uchun (2) tenglamaning o'ng tomoni nolga teng bolsa, (2) tenglama bir jinsli, funksiya nolga teng bo'lmasa, bir jinsli bo'lmagan tenglama deyiladi. Agar va funksiyalar bir jinsli bo'lmagan (2) tenglamaning yechimlari bo'lsa, ravshanki ayirma bir jinsli tenglamaning yechimi bo'ladi. Agarda , funksiyalar bir jinsli tenglamaning yechimlari bo'lsa, funksiya ham, bu yerda haqiqiy o'zgarmaslar, shu tenglamaning yechimi bo'ladi. Xususiy hosilali ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama (3) ko'rinishda yoziladi, bu yerda , , , sohada berilgan haqiqiy funksiyalardir. (3) tenglamaning barcha , koeffiisientlari nolga teng bo'lgan nuqtalarda tenglama ikkinchi tartibli bo'lmay qoladi, ya'ni bu nuqtalarda tenglamaning tartibi buziladi. Bundan keyin barcha da deb hisoblaymiz. (3) tenglamada bo'lganda alohida-alohida , qo'shiluvchilar ishtirok etmay, balki ularning yig'indisi ishtirok etadi. Shu sababli ham umumiyatlika ziyon etkazmay hamma vaqt deb hisoblaymiz. Eslatib o'tamiz sohada aniqlangan va tartibgacha xususiy hosilalri bilan uzluksiz bo'lgan haqiqiy funksiyalarning to'plamini orqali belgilaymiz. 2. Xarakteristik forma tushunchasi. Faraz qilaylik (1) tenglamada ishtirok etayotgan funksiya, o'zgaruvchilar bo'yicha uzluksiz hosilaga ega bo'lsin. (1) tenglamalar nazariy asida haqiqiy o'zgaruvchilarga nisbatan ushbu , (4) tartibli forma darajali bir jinsli ko'phad muhim ro'l o'ynaydi. Bu forma (1) tenglamaga mos bo'lgan xarakteristik forma deyiladi. 3. Ikkinchi ...