Ajoyib limitlar

Ajoyib limitlar Reja 1. Funksiyaning limiti va uning asosiy xossalari. 2. Aniqmasliklar va ularni ochish. 3. Birinchi va ikkinchi ajoyib limitlar. 1. Funksiyaning limiti va uning asosiy xossalari 1. 1-ta'rif. funksiya nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo'lib, istalgan son uchun shunday son mavjud bo'lsaki, tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha nuqtalar uchun tengsizlik bajarilsa, chekli son funksiyaning nuqtadagi limiti deb ataladi va quyidagicha yoziladi (1) Funksiya limitining ta'rifidan kelib chiqadiki cheksiz kichik bo'lganda ham cheksiz kichik bo'ladi. 2-ta'rif. funksiya, ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo'lib, istalgan son uchun shunday, mavjud bo'lsaki, tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha lar uchun tengsizlik bajarilsa, o'zgarmas son, funksiyaning dagi limiti deyiladi, va (2) bilan belgilanadi. 1-ta'rifda faqat yoki bo'lgan qiymatlar qaralsa, funksiyaning chap yoki o'ng limit tushunchasi kelib chiqadi va , (3) bilan begilanadi. 3-ta'rif. Limiti bo'lgan funksiyaga cheksiz kichik funksiya (ch. kich. f.) deyiladi. 4-ta'rif. Limiti yoki bo'lgan funksiyalarga cheksiz katta funksiya (ch. kat. f.) deyiladi va (4) bilan belgilanadi. Limitning ta'rifidan kelib chiqadiki o'zgarmas miqdorning limiti o'ziga teng. Funksiya limitining asosiy xossalari: 1) yig'indining limiti. CHekli sondagi funksiyalar algebraik yig'indisining limiti, qo'shiluvchi funksiyalar limitlarining algebraik yig'indisiga teng, ya'ni va funksiyalarning dagi limitlari mavjud bo'lsa, (5) 2) chekli sondagi funksiyalar ko'paytmasining limiti funksiyalar limitlarining ko'paytmasiga teng, ya'ni (6) Natija: O'zgarmas ko'paytuvchini limit belgisidan tashqariga chiqarish mumkin, ya'ni, (7) 3) Ikkita funksiya nisbatining limiti, maxrajning limiti nњldan farqli bo'lsa, bu funksiyalar limitlarining nisbatiga teng, ya'ni bo'lsa, (8) bo'ladi. Limitlarni hisoblashda quyidagi limitlardan foydalaniladi: ; (9) (10) Bu limitlarga mos ravishda birinchi va ikkinchi ajoyib limitlar deyiladi. 2. Aniqmasliklar va ularni ochish 1.Aniqmasliklar. limitni hisoblashda funksiyalar ch.kich.f. lar bo'lsa, nisbatga da (00) ko'rinishdagi aniqmaslik deyiladi. funksiyalar ch.kat.f. lar bo'lsa, nisbatga da ko'rinishidagi aniqmaslik deyiladi. Xuddi shunga o'xshash aniqmasliklar limitlarni hisoblashda kelib chiqadi. Bunday hollarda limitlarni hisoblashga aniqmasliklarni ochish deyiladi. va () ko'rinishdagi aniqmasliklarni ochishda quyidagi xossadan foydalaniladi: va funksiyalar nuqtaning biror atrofidagi hamma nuqtalarda o'zaro teng bo'lsa, ularning dagi limiti ham teng bo'ladi. Masalan, va funksiyalar ning dan boshqa hamma qiymatlari uchun teng, chunki Yuqoridagi xossaga asosan, bo'ladi, ya'ni natijaga ega bo'lamiz. Funksiyalarning limitini topishga bir necha misollar qaraymiz. 1-misol. ekanligini funksiya limitining ta'rifidan foydalanib isbotlang. Yyechish. Buni isbotlash uchun o'zgaruvchi miqdor va o'zgarmas miqdor orasidagi farq da cheksiz kichik funksiya ekanligini ko'rsatish kifoya. Demak, o'zgaruvchi miqdor da cheksiz kichik funksiyadan iborat. SHunday qilib, . 2-misol. ekanligini isbotlang hamda va larning qiymatlari jadvali bilan tushuntiring. Yechish. bo'lganligi uchun cheksiz kichik miqdordir. ni ayirmaga qo'yib, natijaga ega bњlamiz. cheksiz kichik funksiya bo'lganligi uchun ...