Algebraning ta'rifi va misollar, morfizmlar, faktor - algebra

Mavzu: Algebraning ta'rifi va misollar, morfizmlar, faktor-algebra Reja: Algebraning ta'rifi va misollar. Morfizimlar. Faktor-algebra. Ko'pgina hollarda diskret matematika va uning tatbiqlarida o'rganish obyekti sifatida to'plam bilan birga uning tuzilishi ham ahamiyatga ega bo'ladi. Ma'lumki, odatdagi arifmetika, geometriya obyektlari bilan sonli amallarni bog'laydigan chiziqli fazo hamda biror binar munosabat aniqlangan to'plamlar asosida maydon tushunchasi kiritiladi. Barcha bunday strukturalar algebraik sistemalarni tashkil etadi. Algebraik sistemalarning aniq ta'rifini keltiramiz. Ta'rif 1. Bo'sh bo'lmagan A to'plamni qaraymiz. Bu to'plamda n-o'rinli f akslantirishni kiritamiz: f : An → A. f funksiya bo'lganligi sababli, ixtiyoriy elementlar uchun f amalini qo'llash natijasi bir qiymatli aniqlanadi. f amalining qiymatlar sohasi A to'plamga tegishli bo'lgani uchun f amalni A to'plamda yopiq amal deb ataymiz. Ta'rif 2. Signatura yoki til ∑ deb o'rni ko'rsatilgan predikat va funksional simvollar to'plamiga aytiladi. 0-o'rinli funksional simvolga constanta deyiladi. Agar α funksional yoki predikat simvoli bo'lsa, u holda uni o'rni µ(α) yordamida belgilanadi. n-o'rinli predikat va funksional simvollarni mos ravishda Pn va f n orqali belgilaymiz. Agar qaralayotgan signaturada standart simvollar foydalanilayotgan bo'lsa, masalan: qo'shish amali uchun +, tartiblash munosabati uchun ≤, bo'lish amali uchun , constant uchun 0 va shu kabilar, u holda biz quyidagicha yozamiz: Ta'rif 3. ∑ signaturali algebraik sistema U=A, ∑ deb bo'sh bo'lmagan A to'plamga aytiladi, bunda har bir n o'rinli predikat (funksional) simvolga A to'plamda aniqlangan n-o'rinli predikat mos qo'yilgan. A to'plam A, ∑ algebraik sistemaning tashuvchisi yoki universumi deb ataladi. Ta'rif 4. ∑ dagi simvollarga mos keluvchi predikatlar va funksiyalar interpretatsiyalar deyiladi. Interpretatsiyalarni ham signaturaning mos simvollari bilan belgilaymiz. Ixtiyoriy constant simvolning interpretatsiyasi A to'plamning biror bir elementi bo'ladi. Algebraik sistemalar odatda U, B,… kabi harflar bilan, ularning tashuvchilari esa A, B,… kabi harflar bilan belgilanadi. Ko'p hollarda algebraik sistema o'rniga algebraik so'zi tushirib qoldirilib, sistema yoki struktura so'zi ishlatiladi. Ta'rif 5. Algebraik sistemaning quvvati deb A tashuvchining quvvatiga aytiladi. Agar ∑ signatura predikat (funksional) simvollarga ega bo'lmasa, u funksional (predikat) signatura deb ataladi. Agar sistemaning signaturasi funksional (predikat) bo'lsa, unga algebra (model) deyiladi. Misol 1. bo'lsin, u holda to'plam ikkita ikki o'rinli amallar bilan algebra tashkil etadi. Misol 2. to'plam ≤( µ (≤) =2) binar munosabatli, +, ikki o'rinli amallar, ': n→ n+1 bir o'rinli amal (µ(')=1) va ikkita nol o'rinli amallar (constantalar) 0,1 sistemasidir. Misol 3. majmua algebra tashkil etmaydi, chunki bo'lish Z to'plam amali hisoblanmaydi, masalan 2:3 Z, element ham Z to'plamga tegishli emas. Morfizmlar Faraz qilaylik U=A, ∑ , B=B,∑ algebraik ...