Arifmetikaning asosiy teoremasi

Arifmetikaning asosiy teoremasi R Ye J A 1. Arifmetikaning asosiy teoremasi 2. Bir necha sonlarning EKUBi va EKUKi 3. Son funksiyalari 1-TYeORYeMA. (Arifmetikaning asosiy teoremasi) Birdan katta xar qanday natural son yo tub yoki uni bir xil usul bilan tub sonlar kupaytmasi shaklida ifodalash mumkin. ISBOT. 1) Xar qanday natural sonni tub sonlar kupaytmasi shaklida ifodalash mumkinligini isbotlaylik. n=2 uchun teorema to'g'ri, chunki u tub son. Faraz kilaylik 2 m n uchun teorema to'g'ri bulsin. Teoremani n uchun isbotlaylik. Agar m - tub bulsa teorema to'g'ri. Agar murakkab bulsa, n1 , n2 N 1 n1 n 2 n2 n bo'lib, m=n1 n2 tenglik uringa ega. Teorema n1 , n2 lar uchun to'g'ri, yaoni, n1=r1 r2 rs n2 = r s+1 rk , bundan n=r1 r2 rk (1) bu yerda r1 , r2, - tub sonlar. Demak, xar qanday n1 son yo tub yoki uni tub kupaytuvchilarga yoyish mumkin ekan. 2) Endi yagonaligini isbotlaylik.Faraz kilaylik n1 natural son (1) dan farqli n=q1q2 qm (2) tub sonlar kupaytmasi shaklida ifoladangan bulsin. (1) va (2) dan r1 r2 rk = q1 q2 qm (3) kelib chikadi. (3) ning chap tomoni r1 - tub songa bulinganligi sababli Ung tomoni xam r1 larga bo'linish i kerak. Maolumki, kupaytma biror tub songa bulinsa, kupaytuvchilardan birortasi shu tub songa bulinadi. Masalan r1 va q1 lar har xil tub sonlardir. Bundan r1 =q1 kelib chikadi. Xuddi shuningdek, mk bulsa r2 =q2 rk = qk ekanligini isbotlash mumkin. Buni eotiborga olsak (3) dan qk+1 qm =1 , buni esa bo'lishi mumkin emas. Demak, mk tengsizlik uringa ega emas. Xuddi shuningdek km tengsizlikning xam uringa ega emasligi ko'rsatish mumkin. Demak, m=k bo'lib, r1 =q1 rk =qm. Teorema isbotlandi. MISOL. n=900 n=2 2 3 3 5 5 n- natural sonning (1) yoyilmasida baozi tub sonlar o'zaro teng bo'lishi mumkin. Shuning uchun (1) ni umumiy holda (4) ko'rinishda ifodalanadi. r1 r2 rs - tub sonlar o'sish tartibida joylashgan (4) ni n -natural sonning kanonik ko'rinishi deyiladi. Misol. 1176= 23 3 72 ,136125 =55 112 ,900=22 32 52 Arifmetikaning asosiy teoremasidan quyidagi natijalar kelib chikadi. 1-NATIJA. Agar ko'rinishga ega bulsa uning barcha bo'luvchilari ko'rinishda bo'ladi. Misol. 75=3 52 bulsa 1,3,5, 3 5, 5 5, 3 52 Aytaylik va ko'rinishga ega bulsin. U holda 2-NATIJA Misol. (900,1176) = 223 =12; (900; 1176) =23325272 . Algebra va sonlar nazariyasida son funksiyalaridan (n), (n), (a), [a], a ...