Ba'zi xosmas integrallarni hisoblash

Bazi xosmas integrallarni hisoblash Reja: 10. integralni hisoblash 20. integralni hisoblash. 30. integralni hisoblash. 40. integralni hisoblash. 50. Bazi xosmas integrallarning qiymatlari. Parametrga bog'liq integrallar va ularning funksional xossalaridan foydalanib, bazi xosmas integrallarni hisoblaymiz. 10. integralni hisoblash. Bu integralning yaqinlashuvchiligi 77-ma'ruzada keltirilgan. Malumki, . (1) Bu tenglikdagi parametrga bog'liq integral parametr bo'yicha ixtiyoriy da tekis yaqinlashuvchi bo'ladi. Bu tasdiq , bo'lishi hamda Veyershtrass alomatini qo'llashdan kelib chiqadi. (1) tenglikni integrallab topamiz: . Bu tenglikni chap tomonidagi integral uchun va da bo'lib, bo'ladi. Natijada da (2) bo'lishi kelib chiqadi. Endi tenglikni o'rinli ekanini (qaralsin, 78-ma'ruza) etiborga olib (2) da da limitga o'tib topamiz: . 20. integralni hisoblash. Bu integralning da yaqinlashuvchi bo'lishi ravshan. Aytaylik, bo'lsin. Bu holda integralda almashtirish bajarib topamiz: . Aytaylik, bo'lsin. Bu holda qaralayotgan integralda almashtirish bajarib topamiz: . Aytaylik, bo'lsin. Bu holda bo'ladi. Demak, yani, bo'ladi. 30. integralni hisoblash. Avvalo bu parametrga bog'liq xosmas integralni yaqinlashuvchilikka tekshiramiz. Uning uchun berilgan integralni quyidagicha yozib olamiz: . (3) Aytaylik, bo'lsin. Bu holda bo'lib, da ushbu integralning yaqinlashuvchi bo'lganligidan, da integralning ham yaqinlashuvchi bo'lishi kelib chiqadi. Aytaylik, bo'lsin. Bu holda bo'lib, da ushbu integralning yaqinlashuvchi bo'lganligidan, da integralning ham yaqinlashuvchi bo'lishi kelib chiqadi. Demak, qaralayotgan integral da yaqinlashuvchi bo'ladi. Endi integralni hisoblaymiz. Malumki, da . Bu tenglikdan bo'lishini topamiz. Tenglikning o'ng tomonidagi qator da tekis yaqinlashuvchi bo'lib, uning qismiy yig'indisi bo'ladi. Agar uchun tengsizlikni hamda integralning yaqinlashuvchanligini etiborga olsak, unda Veyershtrass alomatiga ko'ra tekis yaqinlashuvchi bo'ladi. Demak, yani, bo'ladi. Demak, . (4) Endi integralda almashtirish bajarsak, unda bo'lib, yuqoridagi (4) munosabatga ko'ra (5) bo'ladi. (3), (4) va (5) munosabatlardan bo'lishi kelib chiqadi. Malumki, (qaralsin, 76-ma'ruza). Demak, bo'ladi. 40. integralni hisoblash. Bunda funksiya da uzluksiz, istalgan da integral yaqinlashuvchi va , . Berilgan integralni quyidagi ikkita integralning limiti deb qaraymiz. . Bu tenglikning o'ng tomonidagi birinchi integralda , ikkinchi integralda almashtirishlarni bajarib topamiz: . Ravshanki, uzluksiz funksiya, funksiya esa ishora saqlaydi (chunki , , ). Demak, integralda o'rta qiymat haqidagi teoremani qo'llash mumkin: . Natijada, (7) bo'ladi. Modomiki, nuqta bilan orasida ekan, da va (8) bo'ladi. (6), (7) va (8) munosabatlardan bo'lishi kelib chiqadi. 50. Bazi xosmas integrallarning qiymatlari. Quyida bazi xosmas integrallarning qiymatlarini keltiramiz: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. . Mashqlar 1. Ushbu tenglik isbotlansin. 2. Ushbu integral hisoblansin. 3. Ushbu tenglikdan foydalanib, integral hisoblansin. ADABIYoTLAR RUYXATI. Piskunov N.S. differensial va integral hisob, 2- tom, T o'qituvchi, 1974. ...