Birinchi tur egri chiziqli integrallar

Birinchi tur egri chiziqli integrallar Reja: 10. Birinchi tur egri chiziqli integral tushunchasi. 20. Birinchi tur egri chiziqli integralning mavjudligi va uni hisoblash. 30. Birinchi tur egri chiziqli integrallarning bazi tatbiqlari. Malumki, integral matematik analizning muhim tushunchalaridan hisoblanadi. Uning umumlashtirishlaridan biri ma'ruzalarda bayon etilgan ikki o'zgaruvchili funksiyaning tekislikdagi to'plam bo'yicha ikki karrali integralidir. Ayni paytda, ikki o'zgaruvchili funksiya integralini boshqacha umumlashtirish (bu konkret amaliy masalalarni hal qilishda zarur ekanligidan kelib chiqqan) ham mumkin. Quyida keltiriladigan egri chiziqli integral shular jumlasidandir. 10. Birinchi tur egri chiziqli integral tushunchasi. Tekislikda sodda uzunlikka ega bo'lgan egri chiziqni qaraylik. (47-chizma) 47-chizma Bu egri chiziqda A dan V ga qarab yo'nalishni musbat yo'nalish deb, uning nuqtalar yordamida hosil qilingan bo'laklashini olamiz. Natijada egri chiziq bo'lakchalarga ajraladi. Uning uzunligini deyilsa bo'laklashning diametri bo'ladi. Aytaylik, bu egri chiziqda funksiya aniqlangan bo'lsin. Har bir da ixtiyoriy nuqtani olib, so'ng bu nuqtadagi funksiyaning qiymati ni ga ko'paytirib ushbu yig'indini hosil qilamiz. ta'rif. Agar olinganda ham shunday son topilsaki, egri chiziqning diametri bo'lgan har qanday bo'laklash uchun tuzilgan yig'indi ixtiyoriy nuqtalarda tengsizlikni bajarsa, funksiya egri chiziq bo'yicha integrallanuvchi deyilib, son esa funksiyaning egri chiziq bo'yicha birinchi tur egri chiziqli integrali deyiladi. U kabi belgilanadi. Demak . Keltirilgan ta'rifdan ko'rinadiki, funksiya-ning birinchi tur egri chiziqli integrali egri chiziq-ning yo'nalishiga bog'liq bo'lmaydi. . 20. Birinchi tur egri chiziqli integralning mavjudligi va uni hisoblash. Birinchi tur egri chiziqli integral ta'rifidan ko'rinadiki, u berilgan funksiya va egri chiziqqa bog'liq bo'ladi. Faraz qilaylik, sodda silliq egri chiziq ushbu tenglamalar sitemasi bilan aniqlangan va bo'lsin. Shu egri chiziqda funksiya berilgan. Teorema. Agar funksiya da uzluksiz bo'lsa, u holda birinchi tur egri chiziqli integral mavjud bo'lib, bo'ladi. ◄ segmentning bo'laklashi egri chiziqda nuqtalarni hosil qilib, u o'z navbatida egri chiziqning bo'laklashini yuzaga keltiradi. Bu bo'laklashga nisbatan quyidagi (1) yig'indini tuzamiz. Bunda , esa egri chiziq uzunligi. Malumki, bo'ladi.O'rta qiymat haqidagi teoremadan foydalanib topamiz: Endi deb qaraymiz. Ravshanki Modomiki funksiya egri chiziqda berilgan ekan, unda bo'ladi. Natijada (1) yig'indi ushbu (2) ko'rinishga keladi. , funksiyalar da uzluksiz bo'lganligi sabali da bo'ladi. Yana funksiya da uzluksiz bo'lganligi uchun u da integrallanuvchi bo'ladi. (2) tenglikda limitga o'tib topamiz. Demak, . (3) Bu teorema birinchi tur egri chiziqli integralning mavjudligini ifodalash bilan birga uni hisoblash imkonini ham beradi. 1-natija. Aytaylik, egri chiziq tenglama bilan aniqlangan bo'lib, funksiya da uzluksiz hamda uzluksiz hosilaga ega bo'lsin (). Agar funksiya esa shu egri chiziqda uzluksiz bo'lsa, birinchi tur egri chiziqli integral mavjud bo'lib (4) ...