Birinchi tur sirt integrallari

Birinchi tur sirt integrallari Reja: 10. Birinchi tur sirt integrali tushunchasi 20. Birinchi tur sirt integralining mavjudligi va uni hisoblash. 30. Birinchi tur sirt integralining xossalari. 40. Birinchi tur sirt integralining tadbiqlari. 10. Birinchi tur sirt integrali tushunchasi. Fazoda ushbu (1) tenglama bilan aniqlangan sirtni qaraylik. Bunda funksiya to'plamda uzluksiz va uzluksiz xususiy hosilalarga ega. Malumki, (1) sirt yuzaga ega bo'lib, uning yuzi bo'ladi. Aytaylik, sirtda funksiya berilgan bo'lsin. sirtni undagi chiziqlar yordamida bo'lakchalarga ajratib, uning bo'laklashini hosil qilamiz. Bu bo'laklashning diametrini deylik. Endi har bir da ixtiyoriy nuqtani olib, bu nuqtadagi funksiyaning qiymati ni ning yuzi ga ko'paytiramiz. So'ng quyidagi (2) yig'indini tuzamiz. Ravshanki, bu yig'indi funksiyaga, bo'laklashga hamda nuqtaga bog'liq bo'ladi: Odatda, (2) yig'indi funksiyaning integral yig'indisi (Riman yig'indisi) deyiladi. 1-ta'rif. Agar olinganda ham shunday topilsaki, sirtning diametri bo'lgan har qanday bo'laklash uchun tuzilgan yig'indi ixtiyoriy nuqtada tengsizlikni bajarsa, funksiya sirt bo'yicha integrallanuvchi deyilib, son esa funksiyaning birinchi tur sirt integrali deyiladi. Birinchi tur sirt integrali quyidagicha kabi belgilanadi: . Keltirilgan ta'rifdan ko'rinadiki, birinchi tur sirt integrali sirtning tomoniga bog'liq bo'lmaydi. Xususan, bo'lsa, bo'ladi. 20. Birinchi tur sirt integralining mavjudligi va uni hisoblash. Aytaylik, funksiya (1) tenglama bilan berilgan sirtda aniqlangan bo'lsin. 1-teorema. Agar funksiya sirtda uzluksiz bo'lsa, u holda bu funksiyaning sirt bo'yicha birinsi tur sirt integrali mavjud va (3) bo'ladi. ◄ sirtning ixtiyoriy bo'laklashini olib unga nisbatan integral yig'indi ni tuzamiz. bo'laklash bo'lakchalari larning tekislikdagi proyeksiyalari lar to'plamning bo'laklashini hosil qiladi. Malumki, , . (2) formulaga ko'ra bo'ladi. O'rta qiymat haqidagi teoremadan foydalanib topamiz: bunda . Natijada integral yig'indi quyidagi ko'rinishga keladi. . (4) Bu tenglikning o'ng tomondagi yig'indi ushbu (5) ikki o'zgaruvchili uzluksiz funksiyaning integral yig'indisi (6) ni eslatadi. (4) va (6) yig'indilarni solishtirib ularning farqi (6) integral yig'indida nuqta ixtiyoriy bo'lgan holda (4) yig'indida esa nuqta o'rta qiymat haqidagi teoremaga muvofiq bo'lgan tayin nuqta bo'lishidadir. (5) funksiya to'plamda uzluksiz, binobarin u to'plamda integrallanuvchi bo'lganligi sababli bo'ladi. Demak, . ► Agar fazodagi sirt ushbu tenglama bilan aniqlangan bo'lib, bunda funksiya uzluksiz va uzluksiz , xususiy hosilalarga ega bo'lsa, bu sirtda uzluksiz bo'lgan funksiyaning birinchi tur sirt integrali mavjud va (7) bo'ladi. Agar fazodagi sirt ushbu tenglama bilan aniqlangan bo'lib, bunda funksiya uzluksiz va uzluksiz , xususiy hosilalarga ega bo'lsa, bu sirtda aniqlangan uzluksiz funksiyaning birinchi tur sirt integrali mavjud va (8) bo'ladi. Bu tasdiqlar yuqorida keltirilgan teoremaning isboti kabi isbotlanadi. Birinchi tur sirt integrallari ikki karrali integrallarga keltirilib, (3), (7) va (8) formulalar yordamida hisoblanadi. ...