Chegaralari o'zgaruvchi parametrga bog'liq integrallar

Chegaralari o'zgaruvchi parametrga bog'liq integrallar Reja: 10. funksiyaning uzluksizligi. 20. funksiyani differensiallash. Faraz qilaylik, funksiya to'plamda berilgan va har bir tayin da funksiya o'zgaruvchining funksiyasi sifatida da integrallanuvchi bo'lsin. va funksiyalarning har biri da berilgan va uchun (1) tengsizliklar bajarilsin. Ushbu integral, ravshanki, o'zgaruvchiga bog'liq bo'ladi: . (2) (2) integral chegaralari ham parametrga bog'liq integral deyiladi. 10. funksiyaning uzluksizligi. funksiyaning uzluksizligini quyidagi teorema ifodalaydi: 1-teorema. Faraz qilaylik, funksiya to'plamda uzluksiz bo'lib, va funksiyalar esa segmentda uzluksiz bo'lsin. U holda funksiya da uzluksiz bo'ladi. ◄Ixtiyoriy nuqtani olaylik. Integralning malum xossalaridan foydalanib topamiz: (3) Ravshanki, integral chegarasi o'zgarmas bo'lgan parametrga bog'liq integral. Bu funksiya 75-ma'ruzada keltirilgan 2-teoremaga muvofiq o'zgaruvchining uzluksiz funksiyasi bo'ladi. Demak, da (4) bo'ladi. funksiya to'plamda uzluksiz bo'lganligi sababli shu to'plamda chegaralangan bo'ladi: . Shartga ko'ra va funksiyalar segmentda uzluksiz. Demak, da , da . Endi munosabatlardan da , da bo'lishini topamiz. (3) tenglikda, da limitga o'tish va unda (4) va (5) munosabatlarni hisobga olish natijasida da bo'lishi kelib chiqadi. Demak, funksiya da uzluksiz.► 20. funksiyani differensiallash. Faraz qilaylik, funksiya to'plamda, va funksiyalar esa segmentda berilgan bo'lib, , funksiyalar (1) shartni bajarsin, yani uchun bo'lsin. 2-teorema. Aytaylik, , va funksiyalar quyidagi shartlarni bajarsin: 1) funksiya to'plamda uzluksiz; 2) funksiya to'plamda uzluksiz xususiy hosilaga ega; 3) va funksiyalar da va hosilalarga ega. U holda funksiya segmentda hosilaga ega bo'lib, bo'ladi. ◄ , nuqtalarni olib, topamiz: . Agar bo'lishini etiborga olsak, unda (6) bo'lishi kelib chiqadi. 75- ma'ruzadagi 1- teoremaga ko'ra (7) bo'ladi. O'rta qiymat haqidagi teoremadan foydalanib, topamiz: Bunda nuqta nuqtalar orasida, esa , nuqtalar orasida joylashgan. da limitga o'tishi bilan quyidagi tengliklarga kelamiz: (8) Yuqoridagi (6) munosabatda da limitga o'tib, (7) va (8) tengliklarni etiborga olib, ushbu tenglikka kelamiz. Demak, . ► Misol. Ushbu funksiyaning hosilasi topilsin. ◄ Aytaylik, bo'lsin. Bu holda bo'lib, bo'ladi. Aytaylik, bo'lsin. Bu holda bo'lib, bo'ladi. Aytaylik, bo'lsin. Bu holda bo'lib, bo'ladi. Demak, bo'ladi. ► Mashqlar 1. Agar bo'lsa, u holda uchun bo'lishini isbotlansin. 2. Agar bo'lsa, topilsin. ...