Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Kramer va Gauss usullari

Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning kramer va gauss usullari Reja: Chiziqli tenglamalar sistemasi. Chiziqli tenglamalar sistemasining yechimlari. Sistemaning asosiy va yordamchi aniqlovchilari. Kramer formulalari. Sistemaning yagona, cheksiz ko'p yoki yechimga ega bo'lmaslik shartlari. Gauss usulining to'g'ri yo'li. Gauss usulining teskari yo'li. Kramer va Gauss usullarining kulayliklari hamda kamchiliklari. Chiziqli tenglamalar sistemasini iqtisodiy masalalarni yechishga tadbigiga doir misollar. Chiziqli tenglamalar sistemasining xususiy, ya'ni noma'lumlar va tenglamalar soni teng (n=m) bo'lgan holda yechimini topish masalasi bilan shugullanamiz. Dastlab, maktab matematika kursidan ma'lum bo'lgan, ikki noma'lumli chiziqli tenglamalar sistemasini (n=m=2) kuramiz: a11x1+a12x2=v1 a21x1+a22x2=v2 (1) Bu yerda aij cistemaning koeffitsentlari, vi sistemaning ozod xadlari, xj sistemaning noma'lumlari va (1) sistemadagi tenglamalarni ayniyatga aylantiruvchi xj=j sonlari sistemaning yechimlari deb atalishini eslatib utamiz Bunda sistema yechimi yagona, cheksiz ko'p yoki mavjud bo'lmasligi mumkinligi bizga ma'lum. (1) sistema uchun asosiy va ikkita 1, 2 yordamchi aniqlovchilarni quyidagicha kiritamiz: ; ; asosiy aniqlovchi sistemaning koeffitsentlaridan hosil kilinib, yordamchi aniqlovchilar esa uning ustunlarini ozod xadlar bilan almashtirishdan hosil kilinadi. (1) sistema tenglamalarini dastlab mos ravishda a22 va -a12 larga kupaytirib, so'ngra kushamiz: (a 11a22-a21a12) x1+(a12 a22-a22a12)x2=v1a22-v2 a12 Bu tenglikni kiritilgan aniqlovchilar orqali quyidagicha yozish mumkin: x1 = x1 = 1 (2) Shuningdek (1) sistema tenglamalarini mos ravishda (-a21) va a11 larga kupaytirib kushsak, u holda (a11a21 -a21a11)x1+ (a11a22-a12a21)x2=v2a11-v1a21 yuqoridagidek x2 = x2 = 2 (3) Agar noma'lumlarga nisbatan (2) va (3) chiziqli tenglamalarni echsak, x1 = ∆1∆ va x2 = ∆2∆ (4) formulalarga ega bo'lamiz. Ular (1) sistema yechimi uchun Kramer formulalari deb yuritiladi. Endi uch noma'lumli 3 ta tenglamalar sistemasini karaylik: a11x1+a12x2 + a13x3= v1 a21x1 +a12x2 + a13x3= v1 (5) a31x1+a12x2 + a13x3= v1 Bu sistemaning yechimi uchun xam Kramer formulalarini chiqarish qiyin emas. Quyidagi asosiy aniqlovchini kiritamiz: ∆ = Bunda i ustunni v1, v2, v3 ozod xadlar ustuni bilan almashtirib i, i=1,2,3 yordamchi aniqlovchilarni hosil kilamiz. aij elementning algebraik tuldiruvchisini Aij kabi belgilaylik. (5) sistema tenglamalarini mos ravishda ∆ aniqlovchidagi birinchi ustun elementlarining algebraik tuldiruvchilariga (A11,A21,A31) kupaytirib kushib chikaylik. (a11A11+a21A21+a31A31)x1+(a12A11+a22A21+a32A31)x2+(a13A11+a23A21+ +a33A31)x3= v1A11+v2A21+v3A31; Oxirgi munosobatni aniqlovchilar tiliga o'tkazsak va Laplas formulasidan foydalansak, ∆x1+0x2+0x3=∆1 yoki x1=1 tenglamani olamiz. Shuningdek 2-ustun yoki 3-ustun elementlari algebraik tuldiruvchilarini mos ravishda (5) sistema tenglamalariga kupaytirib kushib chiksak, ∆x2 =∆2 va ∆x3 =∆3 tenglamalarni olamiz. Bu tenglamalardan (5) sistema uchun x1=∆1∆ , x2=∆2 ∆ , x3=∆3∆ Kramer formulalarini hosil kilamiz. M i s o l : Sistema Kramer usulida echilsin: x1+2x2 + 3x3=1 2 x1+3x2 + x3=0 2 x1+x2 - 2x3= 0 Ye ch ...