Chiziqli tenglamalar

Chiziqli tenglamalar Reja: 1. Birinchi darajali chiziqli tenglamalar sistemasining matritsaviy yozuvi va matritsaviy yechilishi. 2. Matritsa rangi. Birinchi darajali chiziqli tenglamalar sistemasining matritsaviy yozuvi va matritsaviy yechilishi. Ushbu tenglamalar sistemasi berilgan bo'lsin: (2) Sistemaning matritsasini hamda noma'lumlar va ozod hadlar matritsa ustunlarini qaraymiz: ; ; u holda (2) sistemani matritsalar tengligi ta'rifidan foydalaninb quyidagicha yozish mumkin: ; yoki qisqacha AX=C . (3) tenglama matritsali tenglama deyiladi. Agar A matritsa aynimagan matritsa bo'lsa, u holda (3) tenglama quyidagicha yechiladi. Tenglamaning har ikkala tomoni A matritsaning teskarisi ga ko'paytirib, yoki , bo'lgani uchun tenglamaning (4) ko'rinishidagi yechimiga ega bo'lamiz. Misol. Ushbu tenglamalar sistemasini matritsalar usuli bilan yeching yechish: A matritsa uchun teskari matritsa yuqorida topilgan edi (teskari matritsa misoliga qarang!) Sistemaning yechimini (4) shaklida yozib Bu yerdan, ikki matritsaning tengligi ta'rifidan . Bu qiymatlarni berilgan sistemaga qo'yib, haqiqatdan sistema yechimi ekanligiga ishonch hosil qilamiz. 2§ Matritsa rangi. m ta satr va n ta ustunga ega bo'lgan quyidagi to'g'ri burchakli matritsani qaraymiz: Bunday matritsani o'lchamli matritsa deb ataymiz. Bu matritsa k ta ustun va k ta satrni ajratamiz. Ajratilgan satrlar va ustunlar kesishgan joyda turgan elementlar k tartibli kvadrat matritsa hosil bo'ladi. A matritsaning k tartibli minori deb, bu matritsadan ixtiyoriy k ta satr va k ta ustun ajratishdan hosil bo'lgan kvadrat matritsaning dterminantiga aytiladi. Masalan, uchta satr va to'rtta ustunga ega bo'lgan matritsa uchun uchinchi tartibli minorlardan biri determinant bo'lib, u A matritsaning birinchi, ikkinchi, uchinchi satrlarini va birinchi, ikkinchi, uchinchi ustunlarini ajratishdan hosil bo'ladi. Ikkinchi tartibli minorlardan biri, masalan, determinant bo'ladi. Matritsaning elementlarining o'zlarini birinchi tartibli minor deb qarash mumkin. Matritsaning minorlaridan ba'zilari nolga teng, ba'zilari noldan farqli bo'lishi mumkin. Matritsaning rangi deb, uning noldan farqli minorlari tartiblarining eng kattasiga aytiladi. Agar A matritsaning rangi r ga teng bo'lsa, bu narsa A matritsada hech bo'lmaganda bitta noldan farqli r- tartibli minor borligini, biroq, r dan katta tartibli har qanday minor nolga tengligini r(A) bilan belgilaymiz. Ushbu matritsani qaraymiz: uning yagona to'rtinchi tartibli minori nolga teng: (bitta satrning barcha elementlari nolga teng bo'lsa, determinant sifatida), uchinchi tartibli minorlaridan biri esa noldan farqli , masalan, Demak, berilgan matritsaning rangi uchga teng, ya'ni r(A)=3. Matritsaning rangini hisoblashda ko'p sondagi determinantlarni hisoblashga to'g'ri keladi. Bu ishni osonlashtirish uchun maxsus usullardan foyadalaniladi. Bu usullarni bayon qilishdan oldin matritsani elementar almashtirishlar haqidagi tushunchani kiritamiz. Elementar almashtirishlar deb, quyidagi almashtirishlarga aytiladi: 1) matritsaning biror satri (ustuni) elementlarini noldan farqli bir xil songa ko'paytirish; 2) matritsaning biror satri (ustuni) ...