Darajali qatorlar, ularning yaqinlashish radiusi va yaqinlashish intervallari

Darajali qatorlar, ularning yaqinlashish radiusi va yaqinlashish intervallari Reja: 10. Darajali qator tushunchasi. Abel teoremasi. 20. Darajali qatorning yaqinlashish radiusi va yaqinlashish intervali. 30. Darajali qatorning yaqinlashish radiusini topish 10. Darajali qator tushunchasi. Abel teoremasi. Har bir hadi funksiyadan iborat bo'lgan ushbu (1) funksional qator darajali qator deyiladi, bunda haqiqiy sonlar darajali qatorning koeffitsiyentlari deyiladi. da deyilsa, u quyidagi (2) ko'rinishga keladi va biz shu ko'rinishdagi darajali qatorlarni o'rganamiz. Ravshanki, (2) qatorning qismiy yiђindisi ko'phaddan iborat. Ayni paytda, da bo'ladi. Demak, har qanday (2) ko'rinishdagi darajali qator nuqtada yaqinlashuvchi bo'ladi. 1-teorema (Abel). Agar darajali qator nuqtada yaqinlashuvchi bo'lsa, ushbu tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha larda darajali qator yaqinlashuvchi (absolyut yaqinlashuvchi) bo'ladi. ◄Aytaylik, da qator yaqinlashuvchi bo'lsin. Qator yaqinlashishining zaruriy shartiga ko'ra bo'ladi. Demak, ketma-ketlik chegaralangan: da . Ravshanki, 3) va da bo'ladi. Demak geometrik qator yaqinlashuvchi. Unda ushbu qator ham yaqinlashuvchi bo'ladi. (3) munosabatni etiborga olib, so'ng solishtirish teoremasidan foydalanib darajali qatorning yaqinlashishini (absolyut yaqinlashi-shini) topamiz.► Natija. Agar darajali qator nuqtada uzoqlashuvchi ( ushbu sonli qator uzoqlashuvchi) bo'lsa, quyidagi tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha larda qator uzoqlashuvchi bo'ladi. ◄Teskarisini faraz qilaylik, qator tengsizlikni qanoatlantiruvchi biror nuqtada yaqinlashuvchi bo'lsin. U holda Abel teoremasiga ko'ra tengsizlikning qanotalantiruvchi barcha larda yaqinla-shuvchi, jumladan nuqtada ham yaqinlashuvchi bo'lib qoladi. Bu esa shartga ziddir.► Abel teoremasi va uning natijasi darajali qator-larning yaqinlashish (uzoqlashish) to'plamining struktura-sini (tuzilishini) aniqlab beradi. 20. Darajali qatorning yaqinlashish radiusi va yaqinlashish intervali. Faraz qilaylik, darajali qator berilgan bo'lsin. Bu qatorning yaqinlashish yoki uzoqlashish nuqtalari haqida quyidagi uch hol bo'lishi mumkin: barcha musbat sonlar qatorning yaqinlashish nuqtalari bo'ladi; barcha musbat sonlar qatorning uzoqlashish nuqtalari bo'ladi; shunday musbat sonlar borki, ular qatorning yaqinlashish nuqtalari bo'ladi, shunday musbat sonlar borki, ular qatorning uzoqlashish nuqtalari bo'ladi. Birinchi holda, Abel teoremasiga ko'ra darajali qator barcha da yaqinlashuvchi bo'lib, darajali qatorning yaqinlashish to'plami bo'ladi. Bunday qatorga ushbu darajali qator misol bo'ladi. Ikkinchi holda, Abel teoremasining natijasiga ko'ra darajali qator barcha da uzoqlashuvchi bo'lib, uning yaqinlashish to'plami bo'ladi. Bunday qatorga ushbu darajali qator misol bo'laoladi. Endi uchinchi holni qaraymiz. Bu holga ushbu darajali qator misol bo'ladi. Bu darajali qator barcha da yaqinlashuvchi va demak, Abel teoremasiga ko'ra qator da yaqinlashadi, barcha da qator uzoqlashuvchi va demak, Abel teoremasining natijasiga ko'ra qator da uzoqlashadi. Demak, darajali qatorning yaqinlashish to'plami bo'ladi. Aytaylik, darajali qator nuqtada yaqinlashuvchi, nuqtada nuqtada esa uzoqlashuvchi bo'lsin. Ravshanki, bo'ladi. Agar darajali qator nuqtada yaqinlashuvchi bo'lsa, deb, uzoqlashuvchi bo'lsa, deb va nuqtalarni olamiz. Ravshanki, va bo'ladi. Bu munosabatdagi va sonlarga ko'ra va ...