Darajali qatorning tekis yaqinlashishi. Darajali qatorning xossalari

Darajali qatorning tekis yaqinlashishi. Darajali qatorning xossalari Reja: 10. Darajali qatorning tekis yaqinlashishi 20. Darajali qatorning xossalari. 10. Darajali qatorning tekis yaqinlashishi. Aytaylik, ushbu (1) darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo'lsin. 1-teorema. (1) darajali qator da tekis yaqinlashuvchi bo'ladi, bunda . ◄ Ravshanki, (1) darajali qator da absolyut yaqinlashuvchi bo'ladi. Aytaylik, bo'lsin. Unda va da bo'lganligi uchun, Veyershtrass alomatiga ko'ra (1) qator da tekis yaqinlashuvchi bo'ladi. ► Demak, darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo'lsa, yuqorida keltirilgan teoremaga ko'ra bu qator da tekis yaqinlashuvchi bo'ladi. Bunda sonni songa har qancha yaqin qilib olish mumkin bo'lsada, qator da tekis yaqinlashmasdan qolishi mumkin. Masalan, ushbu darajali qatorning yaqinlashish radiusi , biroq qator da tekis yaqinlashuvchi emas. 20. Darajali qatorning xossalari. Malumki, darajali qatorlar funksional qatorlarning xususiy holi. Binobarin, ular tekis yaqinlashuvchi funksional qatorlar-ning xossalari kabi xossalarga ega. 2-teorema. Agar darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo'lib, yiђindisi bo'lsa, funksiya da uzluksiz bo'ladi. ◄ Ravshanki, qaralayotgan darajali qator da yaqinlashuvchi bo'ladi. Aytaylik, bo'lsin. Ushbu tengsizlikni qanoatlantiruvchi sonini olaylik. Unda darajali qator da tekis yaqinlashuvchi bo'ladi. Tekis yaqinlashuvchi funksional qatorning xossasiga ko'ra darajali qatorning yiђindisi funksiya da uzluksiz, jumladan nuqtada uzluksiz. ► 3-teorema. Aytaylik, darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo'lib, yiђindisi bo'lsin: . Bu qatorni ga tegishli bo'lgan ixtiyoriy bo'yicha hadlab integrallash mumkin: . Xususan, uchun (2) bo'ladi. ◄ Ravshanki, darajali qator da tekis yaqinlashuvchi bo'ladi. Tekis yaqinlashuvchi funksional qatorning xossasiga ko'ra uni hadlab integrallash mumkin. Ayni paytda, (2) qatorning yaqinlashish radiusi ga teng bo'ladi. Haqiqatan ham Koshi-Adamar teoremasiga ko'ra bo'ladi. ► Natija. Aytaylik, darajali qator berilgan bo'lib, uning yaqinlashish radiusi bo'lsin. Bu qatorni bo'yicha ixtiyoriy marta hadlab integrallash mumkin. Integrallash natijasida hosil bo'lgan darajali qatorning yaqinlashish radiusi ham ga teng bo'ladi. 3-teorema. Faraz qilaylik, darajali qatorning yaqinlashish radiusi , yiђindisi bo'lsin: . U holda funksiya da uzluksiz hosilaga ega va (3) bo'ladi, bunda (3) qatorning yaqinlashish radiusi ham ga teng. ◄ Berilgan darajali qator da tekis yaqinlashuvchi bo'ladi. Tekis yaqinlashuvchi funksional qator-ning xossasiga ko'ra darajali qatorni hadlab differen-tsiallash mumkin. Demak, da . Bu darajali qatorning yaqinlashish radiusi ham ga teng bo'lishi quyidagi munosabatdan kelib chiqadi: .► Natija. Aytaylik, darajali qator berilgan bo'lib, uning yaqinlashish radiusi bo'lsin. Bu qatorni da ixtiyoriy marta hadlab differensiallash mumkin. differensiallash natijasida hosil bo'lgan darajali qatorning yaqinlashish radiusi ham ga teng bo'ladi. 4-teorema. Aytaylik, darajali qatorning yaqinlashish radiusi , yiђindisi bo'lsin: . (4) U holda da bo'ladi. ◄(4) munosabatda deb topamiz: . (4) qatorni hadlab differensiallaymiz: . Bu tenglikda deyilsa bo'lishi kelib chiqadi. Shu jarayonni ...