Darajali yig'indilar. Ikki uzgaruvchili simmetrik ko'phadlar

Darajali yig'indilar. Ikki o'zgaruvchili simmetrik ko'phadlar R Ye J A 1. Darajali yig'indilar. 2. Ikki nomaxlumli simmetrik ko'phadlar. Amaliyotda simmetrik ko'phadlarni xususiy xoli bo'lgan x1,x2,,xn nomaolumlar k-darajalarining yig'indilari ko'p uchraydi. Darajali yig'indilar deb ataluvchi (1) simmetrik ko'phad 2-maxruzada keltirilgan simmetrik ko'phadlar haqidagi asosiy teoremaga ko'ra, elementar simmetrik ko'phadlar orqali ifodalanadi. Ammo k ning katta natural qiymatlari uchun u ifodani topish murakkablik tugdiradi. Shuning uchun xam S1,S2,S3 larni 1 , 2, , n lar orqali bog'lanishlarni ifodalovchi quyidagi formulalar diqqatga sazovor: Agar k n bulsa, (2) agar k n bulsa. tengliklar uringa ega. Bu formulalar Npyuton formulalari deb ataladi, ular darajali yig'indilarni elementar simmetrik ko'phadlar bilan boglaydi, hamda S1,S2,S3, darni 1 , 2, , n lar orqali ifodasini ketma-ket topish imkonini beradi. Masalan . Maolumki, S1 =1 (bu (2) formuladan xam kelib chikadi). Agar k=2 n bulsa, (2) dan S2S1 1 + 2 2 =0 ni hosil kilamiz, bundan ga ega bulamiz. Agar k=3 n bulsa, u holda (3) dan S3 S21+S12 33=0 bo'ladi. S1 va S2 larni topilgan ifodalaridan foydalanish uchun quyidagi formulani hosil kilamiz: . Agar k=3 bo'lib, n=2 bulsa, u holda (3) dan S3 S21+S12 =0 kelib chikadi, bundan yuqoridagilar kabi, Npyuton formulalaridan foydalanib, Sk ni 1 , 2, , n lar orqali ifoda qiluvchi formulalarni hosil qilish mumkin. Kuyida n=2,3 bo'lgan xollarda Npyuton formulalarini matematika kursidagi baozi misol va masalalarni yechishga tadbiqini kuramiz. Agar n=2 bulsa, bu holda 1 =x+y, 2 = xy Sk =xk+yk bo'ladi. Sk ning aniklanishidan S1=x+y=1 Buni eotiborga olsak bo'ladi. Umumiy holda k=3,4, bo'lganda (3) formuladan Sk Sk-11+Sk-22 =0 yoki Sk =Sk-11Sl-22 tenglikni hosil kilamiz, bu tenglikni to'g'ri ekanligini kuyidagicha ishonch hosil qilish mumkin. 1 Sk-1 =(x+y)(xk-1+yk-1)=xk+xk-1y+xyk-1+yk= = xk+yk+xy(xk-2+yk-2)=Sk+Sk-2 2 Bundan Sk =Sk-11Sl-22 formuladan foydalanib, S1 va S2 larni bilgan holda S3,S4, larni topmish mumkin. Endi Sk=xk+yk, k=1,2, larni 1 =x+y, 2=xy lar orqali ifodalovchi formulalar jadvalini keltiramiz: 1-jadval Kuyida tenglamalar sistemasini yechishda ushbu teoremadan foydalanish foydadan xoli emas. 2-TYeORYeMA. Ixtiyoriy va sonlar uchun u2u+=0 (4) tenglama va (5) ikki nomaxlumli tenglamalar sistemasi yechimlari orasida quyidagi bog'lanish o'ringa ega. Agar u1,u2 (4) tenglamaning yechimi bulsa, (5) tenglamalar sistemasi 2 ta yechimga ega: aksincha, agar x= , y= (5) sistemaning yechimi bulsa, a va b lar (4) kvadrat tenglamaning yechimlari bo'ladi. Bu teoremaning isboti maktab kursidan maolum. 1. yuqoridagilardan foydalanib, maktab matematika kursidagi ikki nomaxlumli baozi tenglamalar sistemasini osongina yechish mumkin. Xakikatan xam: 1-misol : tenglamalar sistemasini eching. 1 =x+y, 2=xy deb I ...