Differensial tenglamalar va ular sistemasini operatsion hisob yordamida yechish usullari

Differensial tenglamalar va ular sistemasini operatsion hisob yordamida yechish usullari Reja: 1. O'zgarmas koeffitsentli chiziqli differensial tenglamalar. 2. O'zgarmas koeffitsentli chiziqli differensial tenglamalarni integrallash. bu yerda а1 va а2- haqiqiy sonlar. Bu tenglamaning у(0) = yо, у'(0)=у'0, bu yerda у0 va у'0 berilgan sonlar, boshlang'ich shartlarni qanoatlantiruvchi u (t) xususiy yechimini topish talab qilinadi. Izlanayotgan y(t) yechim, uning у'(t), у (t) hosilalari, differensial tenglamaning o'ng tomoni f (t) originallar bo'lsin deb faraz qilaylik. deb belgilab va (15), (17) formulalar, shuningdek, boshlang'ich shartlardan foydalanib, y' (t) va y (t) tasvirlarni topamiz: Chiziqlilik xossasiga ko'ra (23) tenglamada tasvirlarga utamiz: y(t)+a1y'(t)+a2y(t)p2Y(p)-py0-y'0+a1(pY(p)-y0)+a2Y(p)=F(p) yoki (р2 + alp+ а2) Y (р) = F (р) + ру0 + у'0 + а1 у0. (24) (24) tenglama yokamchi tenglama yoki (23) differensial tenglamaga mos tasvirlardagi tenglama deyiladi. Shunday qilib, y(t) original uchun (23) differensial tenglama o'rniga uning Y (p) tasviri uchun (24) Chiziqli algebraik tenglama hosil qildik. (24) tenglamadan topamiz: 25) formula (24) tenglamaning operator yechimi deb ataluvchi yechimini beradi. Original y (t) uchun (25) formula bilan aniqlanadigan Y (p) funksiya tasvir bo'ladi. Ana shu y(t) (23) differensial tenglamaning izlanayotgan yechimi bo'ladi. 1- Misol. у - 3 у' + 2 у = 2 e3t differensial tenglamaning у (0)=1, у' (0) = 3 boshlang'ich shartlarni qanoatlantiradigan yechimini toping. Yechilishi. Jadvaldagi (II) formula bo'yicha tenglamaning o'ng tomonining tasvirini topamiz: 25) formuladan foydalanib va a1=-3, а2 =2 y0=1 y'0=3 ekanini e'tiborga olib, yechimning tasvirini hosil qilamiz: Endi jadvaldagi II formulaga ko'ra originalni topamiz, u berilgan tenglamaning izlanayotgan yechimi bo'ladi: у (t) = e3t. 2- Misol. у + 4у = sin t differensial tenglamaning у (0) = 1, y'(0)=1 boshlang'ich shartlarni qanoatlantiradigan yechimini toping. Yechilishi. Jadvaldagi (IV) formula bo'yicha tenglamaning o'ng tomonining tasvirini topamiz: formula bo'yicha yechimning tasvirini topamiz, bunda у0= 1, у'0 = 1, а1=0, а2 = 4 ekanini e'tiborga olamiz: Hosil qilingan ifodani o'zgartiramiz. Y (p) ni eng sodda kasrlarga ajratamiz, natijada So'ngra O'garmas koeffitsiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemalarini operatsion hisob metodi bilan yechish usuli bitta tenglama bo'lgan holdagi kabidir. Masalan, ikkita noma'lum x(t) va y(t) funksiyalarga nisbatan birinchi tartibli o'garmas koeffitsiyentli ikkita chiziqli tenglama sistemasini ko'raylik: Bu sistemaning x(0)=x0, у(0)=у0 boshlang'ich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini topish talab qilinadi. Izlanayotgan x(t) va y (t) funksiyalar, ularning hosilalari va o'ng tomonlari f1(t) va f2(t) lar original deb faraz qilamiz. Ushbu belgilashlar qilib va (13) formulani kullanib, x'(t) va y'(t) tasvirlarni topamiz: Chiziqlilik xossasiga ko'ra (26) differensial tenglamalar sistemasidan tasvirlar uchun algebraik tenglamalar ...