Egri chiziqlar va ularning uzunliklari haqida

Egri chiziqlar va ularning uzunliklari haqida Reja: 10. Egri chiziq tushunchasi. 20. Egri chiziq uzunligi va uning mavjudligi. 30. Egri chiziq uzunligini hisoblash formulalari. 10. Egri chiziq tushunchasi. Oliy matematikaning dastlabki qismini o'rganish mobaynida o'quvchi egri chiziq va uning tenglamalari, egri chiziqning uzunligi kabi ma'lumotlar, shuningdek bazi egri chiziqning tasvirlari bilan tanishgan. Egri chiziqli integrallar nazariyasi (shuningdek, keyinchalik o'rganiladigan kompleks analiz kursida) egri chiziqlarning muhimligini etiborga olib, ular haqida bazi ma'lumotlarni keltirish lozim topildi. Hozirgi zamon matematikasida egri chiziq turlicha ta'riflangan bo'lib, ular orasida Jordan tomonidan keltirilgan ta'rif bir muncha tabiiyroq hisoblanadi. U egri chiziqni nuqtaning uzluksiz harakati natijasida qoldirgan izi sifatida qaragan. , funksiyalar segmentda aniqlangan va uzluksiz bo'lsin. Bu funksiyalardan tuzilgan ushbu (1) sistemani qaraylik. Tekislikda Dekart koordinaatalar sistemasini olib, bu va larni shu tekislikdagi biror nuqtaning koordinatalari sifatida qaraymiz: . Ravshanki nuqta dan olingan ga bog'liq. Ayni paytda, nuqta argument ning (1) akslantirishdagi aksi (obrazi), ning o'zi bu akslantirishdagi nuqtaning asli (proobrazi) bo'ladi. Shunday qilib, (1) akslantirish yordamida segmentning aksi tekislikda ushbu to'plamni hosil qiladi. Bu to'plamga tekislikdagi egri chiziq deyiladi. Demak, egri chiziq da uzluksiz bo'lgan 2 ta funksiyalar yordamida ta'riflanar ekan. Odatda egri chiziqning bunday berilishi uni parametrik ko'rinishda berilishi deyiladi. Bunda parametr. Masalan: (2) sistema tekislikda markazi koordinatalar boshida radiusi r ga teng bo'lgan aylanani ifodalaydi. Demak, (2) aylananing parametrik tenglamasi. Bazi hollarda egri chiziqning ta'rifini ifodalaydigan to'plam murakkab bo'lib, hatto u biz tasavvur etadigan egri chiziqqa butunlay o'xshamay qolishi mumkin. Masalan, Peano tomonidan segmentda uzluksiz bo'lgan shunday funksiyalar tuzilgan: to'plam uchlari nuqtalarda bo'lgan kvadratdan iborat bo'ladi. Boshqacha qilib aytganda Egri chiziq kvadratning har bir nuqtasidan o'tadi. Bu Egri chiziq shu bilan harakaterlanadiki, bunda parametrning cheksiz ko'p turli qiymatlarida va funksiyalar bir xil qiymatni qabul qiladi. Aytaylik (3) tenglamalar sitemasi biror egri chiziqni aniqlasin, bunda funksiyalar da uzluksiz. Agar da bo'lganda bo'lsa, u holda egri chiziqning va nuqtalari uning karrali nuqtalari deyiladi (bu nuqtada egri chiziq o'zini o'zi kesib o'tadi). Karrali nuqtalarga ega bo'lmagan egri chiziq sodda Jordan egri chizig'i deyiladi. Bu holda parametr ning turli qiymatlariga mos keluvchi egri chiziqning nuqtalari turli bo'ladi. Masalan, segmentda uzluksiz bo'lgan funksiya grafigi sodda Jordan egri chizig'i bo'ladi. Haqiqatdan ham, deyilsa, unda turli uchun bo'lishi ravshan. Agar (3) sistema bilan aniqlanagan egri chiziqda parametr ning turli qiymatlariga mos keluvchi egri chiziqning , nuqtalari ham turlicha bo'lib, bo'lsa, egri chiziq sodda yopiq egri chiziq deyiladi. Masalan, ushbu sictema bilan aniqlangan egri chiziq (ellips) sodda yopiq egri chiziq bo'ladi. ...