Eyler integrallari

Eyler integrallari Reja: 10. Beta funksiya va uning tekis yaqinlashuvchiligi. 20. funksiyaning xossalari. 30. Gamma funksiya va uning yaqinlashuvchiligi. 40. funksiyaning xossalari. 50. Beta va gamma funksiyalar orasidagi bog'lanish. Biz ushbu xosmas integralning bo'lganda yaqinlashuvchiligini, xosmas integralning esa bo'lganda yaqinlashuvchiligini isbotlagan edik. Ravshanki, bu xosmas integrallar va larga bog'liq, yani parametrga bog'liq xosmas integrallar bo'ladi. 10. Beta funksiya va uning tekis yaqinlashuvchiligi. Ushbu parametrga bog'liq xosmas integral beta funksiya (-tur Eyler integrali) deyiladi va kabi belgilanadi: . Demak, beta funksiya to'plamda aniqlangan funksiya. 1-teorema. Ushbu integral to'plamda tekis yaqinlashuvchi bo'ladi. ◄ funksiyani ifodalovchi integralni ikki qismga ajratib, ќar bir integralning tekis yaqinlashishga tekshiramiz. Parametr , da va bo'lganda integralning yaqinlashuvchi bo'lishidan Veyershtrass alomatiga ko'ra integralning , da tekis yaqinlashuvchiligini topamiz. Shuningdek, parametr , da va bo'lganda integralning yaqinlashuvchi bo'lishidan Veyershtrass alomati-ga ko'ra integralning da tekis yaqinlashuvchi bo'lishini topamiz. Demak, integral to'plamda tekis yaqinlashuvchi bo'ladi. ► Natija. funksiya to'plamda uzluksiz bo'ladi. ◄Bu tasdiq integralning tekis yaqinlashuvchiligi ќamda integral ostidagi funksiyaning to'plamda uzluksiz bo'lishidan kelib chiqadi. ► 20. funksiyaning xossalari. Endi funksiyaning xossalarini keltiramiz. 1) funksiya va argumentlariga nisbatan simmetrik funksiya, yani, bo'ladi. ◄ ni ifodalovchi integralda almashtirish bajarib topamiz: . ► 2) funksiya quyidagicha ќam ifoda qilinadi: . (1) ◄ ni ifodalovchi integralda almashtirish bajarib topamiz: ► Agar (1) da deyilsa, unda bo'ladi. Xususan, bo'ladi. 3) funksiya uchun ushbu formula o'rinli bo'ladi. ◄Ravshanki, . Bu integralni bo'laklab integrallaymiz: Natijada (2) bo'lib, undan bo'lishi kelib chiqadi. ► funksiya simmetrik bo'lganligidan ushbu (3) bo'ladi. Natija. funksiyaga (2) va (3) formulalarni takror qo'llash natijasida bo'lishi kelib chiqadi. 30. Gamma funksiya va uning yaqinlashuvchiligi. Ushbu parametrga bog'liq xosmas integral gamma funksiya (-tur Eyler integrali) deyiladi va kabi belgilanadi: . Demak, gamma funksiya da aniqlangan funksiya. 2-teorema. Ushbu integral da tekis yaqinlashuvchi bo'ladi. ◄ funksiyani ifodalovchi integralni ikki integral yig'indisi sifatida yozib olamiz: . So'ng ikkala integralning ixtiyoriy segmentda tekis yaqinlashuvchi bo'lishini ko'rsatamiz. Parametr , da va da integralning yaqinlashuvchi bo'lishidan Veyershtrass alomati-ga ko'ra integralning da tekis yaqinlashuvchi bo'lishi kelib chiqadi. Shuningdek, parametr , da va integralning yaqinlashuvchi bo'lishidan yana Veyershtrass alomatiga ko'ra integralning da tekis yaqinlashuvchi bo'lishini topamiz. Demak, xosmas integral da tekis yaqinlashuvchi bo'ladi. ► Natija. funksiya da uzluksiz bo'ladi. ◄Bu tasdiq integralning tekis yaqinlashuvchiligi ќamda integral ostida-gi funksiyaning da uzluksiz bo'lishidan kelib chiqadi. ► 40. funksiyaning xossalari. 1) Gamma funksiya da barcha tartibdagi uzluksiz ќosilalarga ega va bo'ladi. ◄Ravshanki, integral ostidagi funksiya to'plamda uzluksiz bo'lib, uzluksiz ќosilaga ega bo'ladi. Yuqorida aytganimizdek tenglikning o'ng ...