Fure qatorining yaqinlashuvchiligi

Fure qatorining yaqinlashuvchiligi Reja: 10. Lemmalar. 20. Fure qatorining qismiy yig'indisi. Dirixle integrali. 30. Lokallashtirish prinsipi. 40. Fure qatorining yaqinlashuvchiligi. 10. Lemmalar. Fure qatorining yaqinlashishini isbot-lashda muhim bo'lgan lemmalarni keltiramiz. 1-lemma. Agar funksiya da integrallanuvchi bo'lsa, bo'ladi. ◄ Ravshanki, lemmaning shartidan funksiyalar da integrallanuvchi bo'ladi. segmentda nuqtalarni olib, ni quyidagicha yozib olamiz (1) bunda, . Bu (1) tenglikning o'ng tomonidagi integrallarni baholay-miz: bunda - funksiyaning dagi tebranishi, . Modomiki, funksiya da integrallanuvchi ekan, unda (2) qilib olinishi mumkin. Endi (1) tenglikning o'ng tomonidagi ikkinchi integral-ni baholaymiz: . Ravshanki, ni etarlicha katta qilib olish hisobiga (3) ga erishish mumkin. Natijada (1) , (2) va (3) munosabatlardan bo'lishi va undan bo'lishi kelib chiqadi. Xuddi shunga o'xshash isbotlanadi.► Agar oraliqni shunday bo'laklarga ajratish mumkin bo'lsaki, har bir da funksiya uzluksiz bo'lib, nuqtalar-da chekli o'ng , va chap limitlarga ega bo'lsa, funksiya da bo'lakli-uzluksiz deyiladi. Yuqoridagi lemma funksiya da bo'lakli uzluksiz funksiya bo'lgan holda ham o'rinli bo'ladi. 1-lemmadan quyidagi natija kelib chiqadi. Natija. Agar funksiya oraliqda bo'lakli uzluksiz bo'lsa, uning Fure koeffitsiyentlari da nolga intiladi: 2-lemma. Ushbu tenglik o'rinli. ◄ Ravshanki bo'ladi. Agar bo'lishini etiborga olsak, unda yuqoridagi tenglikdan tenglikning kelib chiqishini topamiz.► 20. Fure qatorining qismiy yig'indisi. Dirixle integrali. Funksional qatorlar nazariyasidan malumki, qatorning yaqinlashishini aniqlashda avvalo uning qismiy yig'indisi topilib, so'ng bu qismiy yig'indining limiti o'rganilar edi. Funksiyaning Fure qatorining yaqinlashishini aniq-lashda ham avvalo uning qismiy yig'indisi topiladi. Aytaylik, funksiya oraliqda integrallanuv-chi bo'lsin. Bu funksiyaning Fure koeffitsiyentlarini topib, uning Fure qatorini tuzamiz: Ravshanki, bu qatorning qismiy yig'indisi bo'ladi. Bu tenglikdagi va larning o'rniga ularning yuqorida keltirilgan ifodalarni qo'yib topamiz: Malumki, 2-lemmaga ko'ra bo'ladi. Unda yig'indi quyidagi ko'rinishga keladi: . (4) Odatda, (4) tenglikning o'ng tomondagi integral funksiyaning Dirixle integrali deyiladi. yig'indining bu ifodasini yanada o'zgartirib, da ning limitini topishga qulaylik keltiradi-gan ko'rinishga olib kelamiz. Avvalo (4) integralda almashtirishni bajaramiz. Bunda, integral ostidagi funksiya davrli bo'lganligi sababli integrallash chegarasining o'zgarmay qolishini etiborga olib topamiz: . Bu tenglikni ushbu ikki qismga ajratib, o'ng tomondagi birinchi integralda ni ga almashtirib topamiz: Xususan, bo'lganda bo'lib, u 1 ga teng bo'ladi. Haqiqatan ham, 2-lemmadan foydalansak, unda bo'lishi kelib chiqadi. Demak, . (5) 30. Lokallashtirish prinsipi. funksiya Fure qatorining qismiy yig'indisi 6) ning bitta muhim xossasini keltiramiz. Ixtiyoriy sonni olib, (6) integralni ikkita integralga ajratamiz: (7) 1-teorema. da ning limiti nolga teng bo'ladi: . ◄ funksiya da integrallanuvchi bo'lganligi sababli funksiya ham da integrallanuvchi bo'ladi. Unda 1-lemmaga ko'ra bo'ladi.► (7) munosabat va keltirilgan teoremadan muhim natija kelib chiqadi: ...