Garmonik funksiyaning xossalari

Garmonik funksiyaning xossalari Reja: O'rta qiymat haqida. Maksimum prinsipi. Yo'qatiladigan maxsuslik haqida. Tayanch tushunchalar Sfera uchun o'rta arifmetik formula, shar uchun o'rta arifmetik formula,qanday shartda funksiya sohaning chegarasida maksimumga erishadi. . Grin formulalardan va garmonik funksiyaning integral tasviridan, uning oddiy xossalarini keltirib chiqaramiz: Teorema 1. Agar D sohada garmonik funksiya uchun, bo'lsa, u holda (1) bo'ladi. Isbot. Grinning birinchi formulasida foydalanamiz, chunki teorema shartiga ko'ra , shuning uchun 1 - Grin formulasi o'rinli. Bu yerda deb olamiz, u holda . Teorema 2. Agar funksiya D sohada garmonik bo'lsa, u holda u(x) cheksiz differensiallanuvchidir, yani bo'ladi. Isbot. funksiya D sohada garmonik bo'lsin. U holda o'zining chegarasi bilan to'la D sohada yotuvchi sohani olamiz. sohani shunday tanlab olamizki uning chegarasi - bo'laklari silliq sirtdan iborat bo'lsin. bo'lgani uchun (7) garmonik funksiya uchun integral tasvirdan (2) foydalanamiz. Bu yerda (2) integral ostidagi funksiya x va u o'zgaruvchilarning uzluksiz funksiya bo'lib nuqtaning barcha - koordinatalari bo'yicha barcha tartibli hosilalarga ega. Parametrga bog'lik integrallarni differensiallash haqidagi teoremega asosan funksiya x - bo'yicha barcha tartibli hosilalarga ega. Teorema 3. (O'rta qiymat haqida) Agar funksiya - sharda garmonik bo'lib, - yopiq sharda uzluksiz bo'lsa, u holda (3) formula o'rinli bo'ladi. Isbot. Ushbu sharni karaymiz. Tanlashimizga ko'ra va bo'lgani uchun, garmonik funksiyaga integral tasvir yozamiz. - shar uchun sferada sferaga tashqi - normalning yo'nalishi - radius yo'nalishi bilan bir hil bo'ladi. Shuning uchun . Bularni etiborga olib yuqoridagi integralni quyidagicha hisoblaymiz: Demak, funksiya - sharda uzluksiz bo'lgani uchun bu tenglikda da integral ostida limitga o'tish mumkin. formulani hosil qilamiz. formulani ko'rinishda yozib olamiz. Bu tenglikni bo'yicha oraliqda integrallab, formulaga ega bo'lamiz. Bu yerda sharning hajmi. (3) va formulalar mos ravishda sfera va shar bo'yicha garmonik funksiyalar uchun o'rta arifmetik formulalar nomi bilan yuritiladi. Teorema 4. (maksimum prinsipi). Agar - funksiya: Chekli D sohada garmonik. da uzluksiz. , bo'lsa, u holda funksiya maksimum va minimumga D sohaning chegarasi D da erishadi. Isbot. funksiya yopiq sohada uzluksiz bo'lgani uchun mavjud. Teoremani teskaridan faraz qilish usulidan foydalanib isbotlaymiz. Faraz qilaylik funksiya max. ga D sohaning ichida nuqtada erishsin, yani bo'lsin. D sohada joylashgan sfera chizib olamiz. U holda o'rta qiymat haqidagi Teorema 3 ga asosan (4) tengsizlik o'rinlidir. Endi funksiya da M dan kichik qiymat qabul qila olmasligini ko'rsatamiz: Agar biror nuqtada deb faraz qilsak, u holda ning uzliksizligidan belgilaymiz, yani Demak, M ...