Ikki karrali integral tushunchasi va uning mavjudligi

Ikki karrali integral tushunchasi va uning mavjudligi Reja: 10. Funksiyaning integral va Darbu yig'indilari. 20. Ikki karrali integral ta'riflari. 30. Darbu yig'indilarining xossalari. 40. Ikki karrali integralning mavjudligi. 10. Funksiyaning integral va Darbu yig'indilari. Faraz qilaylik, tekislikda yuzga ega bo'lgan shakl (to'plam) berilgan bo'lsin. Bu to'plamda funksiya aniqlangan va chegaralangan: , , . ning biror bo'laqlanishi va har bir da ixtiyoriy nuqtani olib quyidagi yig'indini tuzamiz. 1-ta'rif. Ushbu yig'indi funksiyaning integral yig'indisi (Riman yig'indisi) deyiladi. Keltirilgan ta'rifdan ko'rinadiki, integral yig'indi funksiyaga, to'plam va uni bo'laklash usuliga, hamda har bir nuqtalarga bog'liq bo'ladi: Modomiki, funksiya da chegaralangan ekan, u har bir da ham chegaralangan bo'ladi. Demak, , mavjud. Ayni paytda, uchun (1) tengsizliklar bajariladi. 2-ta'rif. Ushbu , yig'indilar mos ravishda Darbuning quyi, hamda yuqori yig'indilari deyiladi. Funksiyaning Darbu yig'indilari funksiyaga, to'plam va uning bo'laklashiga bog'liq , bo'lib, har doim tengsizlik bajariladi. (1) tengsizlikdan foydalanib topamiz: . Demak, . 20. Ikki karrali integral ta'riflari. Aytaylik, funksiya yuzaga ega bo'lgan to'plamda aniqlangan va chegaralangan bo'lsin. ning bo'laklashini olib, berilgan funksiyaning integral yig'indisini tuzamiz: . 3-ta'rif. Agar son olinganda ham shunday son topilsaki, ning diametri bo'lgan har qanday bo'laklash, hamda har bir da olingan ixtiyoriy lar uchun tengsizlik bajarilsa, son yig'indining dagi limiti deyiladi va kabi belgilanadi. 4-ta'rif. Agar da funksiyaning integral yig'indisi limiti mavjud va chekli ga teng bo'lsa, funksiya da integrallanuvchi deyiladi. soniga esa, funksiyaning bo'yicha ikki karrali integrali deyiladi. Uni quyidagicha belgilanadi. Demak, . Masalan, bo'lsin. Bu funksiyaning integral yig'indisi bo'lib, uning ikki karrali integrali bo'ladi. Xususan, bo'lganda bo'ladi. Funksiyaning ikki karrali integrali yuqori hamda quyi integrallar yordamida ham ta'riflanishi mumkin. Faraz qilaylik, funksiya yuzaga ega bo'lgan to'plamda berilgan va chegaralangan bo'lsin. ning turli bo'laklashlaridan tashkil topgan to'plamni , deylik . Har bir bo'laklashga nisbatan funksiyaning Darbu yig'indilarini tuzib, ushbu , to'plamlarni hosil qilamiz. Bu to'plamlar chegaralangan bo'ladi. 5-ta'rif. to'plamning aniq yuqori chegarasi funksiyaning quyi ikki karrali integrali deyiladi va kabi belgilanadi. Demak, . 6-ta'rif. to'plamning aniq quyi chegarasi funksiyaning yuqori ikki karrali integrali deyiladi va kabi belgilanadi. Demak, . Demak, chegaralanganfunksiyaning har doim quyi hamda yuqori integrali mavjud bo'ladi. 7-ta'rif. Agar bo'lsa, funksiya to'plamda integrallanuvchi, ularning umumiy qiymati esa funksiyaning bo'yicha ikki karrali integrali deyiladi. Demak, . Eslatma. Agar bo'lsa, funksiya da integrallanmaydi. 30. Darbu yig'indilarining xossalari. Aytaylik, funksiya yuzaga ega bo'lgan to'plamda berilgan va chegaralangan bo'lsin. to'plamning bo'laklashlari to'plami dagi bo'laklashga nisbatan funksiyaning integral hamda Darbu yig'indilarini kiritamiz. , , bunda, , bo'lib, uchun bo'ladi. Malumki, 33-ma'ruzada funksiya Darbu ...