Ikki karrali integrallarda o'zgaruvchilarni almashtirish

Ikki karrali integrallarda o'zgaruvchilarni almashtirish Reja: 10. Tekislikda to'plamlarni akslantirish haqida 20. Ikki karrali integrallarda o'zgaruvchilarni almashtirish. 30. Ikki karrali integralning qutb koordinatalarida ifodalanishi. Ikki karrali integrallarni hisoblashda ancha qiyinchiliklarga duch kelinadi. Bu qiyinchiliklar: Integrallanuvchi funksiyalarning murakkabligi, Integrallash to'plamning murakkabligi hisobiga sodir bo'ladi. Bazan o'zgaruvchilarni almashtirish natijasida integ-rallanuvchi funksiya ham, integrallash to'plami ham soddaroq ko'rinishga (integrallash uchun qulay ko'rinishga) keladi va integralni hisoblash osonlashadi. 10. Tekislikda to'plamlarni akslantirish haqida. Faraz qilaylik, tekislikda dekart koordinatalar sistemasiga nisbatan chegaralangan to'plam, dekart koordinatalar sistemasiga nisbatan esa chegaralangan to'plam berilgan bo'lib, ularning chegaralari va lar bo'lakli-silliq yopiq chiziqlardan iborat bo'lsin. (38-chizma) 38-chizma Aytaylik, (1) sistema ni ga akslantirsin. Bu akslantirish quydagi shartlarni bajarsin: Bu o'zaro bir qiymatli akslantirish, va funksiyalar to'plamda uzluksiz va uzluksiz barcha xususiy hosilalarga ega, Xususiy hosilalardan tuzilgan funksional determinant da ishora saqlasin va da bo'lsin. Odatda, determinant (1) sistemaning yakobiani deyiladi. Ravshanki, bunday holda (1) akslantirishga teskari akslantirish mavjud va u ni ga bir qiymatli akslan-tiradi. Tasdiq. to'plamning yuzi bo'ladi (qaralsin, [1] 19-bob, 3-§). 20. Ikki karrali integrallarda o'zgaruvchilarni almashtirish. funksiya to'plamda berilgan va uzluksiz bo'lsin. Ushbu (2) sistema ni ga akslantirib, u 10 da keltirilgan 1)-3) shartlarni bajarsin. ning biror bo'laqlanishi olaylik. Bu bo'laklash (1) akslantirish yordamida to'plamning bo'laklashlarni hosil qiladi. Ikki karrali integral ta'rifiga ko'ra bo'lib, (3) bo'ladi. 10 da keltirilgan tasdiqdan foydalanib topamiz: . O'rta qiymat haqidagi teoremaga binoan, shunday nuqta topiladiki, tenglik bajariladi. Natijada funksiyaning integral yig'indisi quyidagi ko'rinishga keladi. nuqtaning ixtiyoriyligidan , deb olish mumkin. Unda bo'ladi. funksiya da uzluksiz, bino-barin integrallanuvchi. Demak (4) bo'ladi. (2) va (3) munosabatlardan (5) bo'lishi kelib chiqadi. (5) ikki karrali integrallarda o'zgaruvchilarni almashtirish formulasidir. 1-misol. Ushbu integral hisoblansin, quyidagi , , , chiziqlar bilan chegaralangan. ◄ Berilgan chiziqlar bilan chegaralangan 39-chizmada tasvirlangan. 39-chizma Ushbu (6) akslantirishda ning aksi Ravshanki, (5) akslantirish o'zaro bir qiymatli akslantirish bo'lib, unga teskari akslantirish (6') bo'ladi. (6) sistemaning yakobianini topamiz: Endi ekanini etiborga olib, berilgan integralda (6') almashtirish bajarsak, unda (5) formulaga ko'ra bo'ladi. Keyingi integralni hisoblaymiz. . Demak, . ► 30. Ikki karrali integralning qutb koordinatalarida ifodalanishi. Yuqoridagi (1) sifatida ushbu (7) akslantirishni olaylik. Bu tekislikdagi qutb koordina-talari sistemasi bo'yicha nuqtani dekart koordinata-lari sistemasi bo'yicha nuqtaga akslantirishni ifoda-laydi. (7) sistemaning yakobiani bo'ladi. tekisligidagi yuzaga ega to'plamni olaylik. Bu ning (7) akslantirish yordamida asli (proobrazi) bo'ladi. Agar nuqta (koordinata boshi) ga tegishli bo'lmasa, u holda ni ga akslantirish o'zaro bir qiymatli bo'lib, sistemaning yakobiani dan farqli bo'ladi. Agar nuqta ga tegishli bo'lsa, u holda ...