Ikki karrali integrallarni hisoblash

Ikki karrali integrallarni hisoblash Reja: 10. To'g'ri to'rtburchak to'plam bo'yicha ikki karrali integrallarni hisoblash. 20. Egri chiziqli trapetsiya bo'yicha ikki karrali integrallarni hisoblash. 10. To'g'ri to'rtburchak to'plam bo'yicha ikki karrali integrallarni hisoblash. funksiya tekislikdagi to'plamda berilgan bo'lsin. Bu funksiyaning bo'yicha ikki karrali integralini hisoblash masalasini qaraymiz. 1-teorema. funksiya quyidagi shartlarni bajar-sin: 1) funksiya da integrallanuvchi, 2) Har bir tayin da integral mavjud. U holda funksiya da integrallanuvchi, yani mavjud va bo'ladi. ◄ segmentning , segmentning nuqtalar yordamida uchun ushbu , bo'laklashni hosil qilamiz. Uning diametri , bo'ladi. Aytaylik, , , bo'lsin. Ravshanki, uchun bo'lib, yani, bo'ladi. Keyingi tengsizlikni ning qiymatlari uchun yozish, so'ng ularni hadlab qo'shish natijasida (2) hosil bo'ladi. Ushbu integral ning funksiyasi bo'lib, bu funksiya da, jumladan da chegaralangan bo'ladi. Agar , deyilsa, (2) munosabatga ko'ra bo'lib, undan bo'lishi kelib chiqadi. Bu tengsizlikni ga ko'paytirib, so'ng hosil bo'lgan tengsizlikni ning qiymat-larida yozib, ularni hadlab qo'shib topamiz: . Modomiki funksiyaning da integrallanuvchi ekan, unda da da bo'ladi. Bu esa funtskiyaning da integrallanuvchi ekanini bildiradi. Demak, integral mavjud. (2) tengsizlikni oraliq bo'yicha hadlab integral-lab topamiz: yani, (3) munosabatga kelamiz. Ravshanki, , (4) va , Unda (3) va (4) munosabatlardan bo'lishi kelib chiqadi. ► 2-teorema. funksiya quyidagi shartlarni bajar-sin: 1) funksiya da integrallanuvchi, 2) har bir tayin da integral mavjud. U holda funksiya da integrallanuvchi, yani mavjud va bo'ladi. ◄ Bu teoremaning isboti yuqoridagi teoremaning isboti kabidir. ► 1-natija. quyidagi shartlarni qanoatlantirsin: 1) funksiya da integrallanuvchi, 2) Har bir tayin da integral mavjud. 3) Har bir tayin da integral mavjud. U holda , integrallar mavjud va bo'ladi. 2-natija. Agar funksiya da uzluksiz bo'lsa u holda , integrallar mavjud va ular bir-biriga teng bo'ladi. Demak, integrallash to'plami bo'lgan holda funksiyaning bo'yicha integrali avval birinchi argumenti (ikkinchi argumentini o'zgarmas deb hisoblab), so'ng ikkinchi argumenti bo'yicha integrallab topiladi. 1-misol. Ushbu integral hisoblansin, bunda . ◄ Integrallanayotgan funksiya 1- va 2- teoremalarni shartlarini bajaradi. Ulardan foydalanib topamiz: . Shuningdek, bo'ladi. ► 20. Egri chiziqli trapetsiya bo'yicha ikki karrali integrallarni hisoblash. tekislikdagi to'plamda berilgan bo'lsin, bunda funksiyalar da uzluksiz va da . 3-teorema. funksiya quyidagi shartlarni bajarsin: 1) funksiya da integrallanuvchi, 2) Har bir tayin da integral mavjud. U holda mavjud va bo'ladi. ◄ Aytaylik, to'g'ri to'rtburchak ni o'z ichiga joylashtirsin: 34-chizma Ushbu funksiya uchun, ravshanki (5) tenglik bajariladi. Bu funksiya har bir tayin da o'zgaruvchining funksiyasi sifatida qaralsa, unda teoremaning 2-sharti hamda funksiyaning tuzilishidan integralning mavjudligini topamiz. Unda 1-teoremaga ko'ra (6) bo'ladi. Ayni paytda, har ...