Ikki karrali integralning ba'zi bir tatbiqlari

Ikki karrali integralning bazi bir tatbiqlari Reja: 10. Tekis shaklning yuzi 20. Jismning xajmi. 30. Sirtning yuzi. 40. Ikki karrali integralning mexanikaga tadbiqlari 10. Tekis shaklning yuzi. Tekislikda yuzaga ega bo'lgan shakl berilgan bo'lsin. Bu shaklning yuzi (1) bo'ladi. (1) tenglikning isboti ikki karrali integral ta'rifi-dan kelib chiqadi. Misol. Tekislikning birinchi choragida ushbu , , () chiziqlar bilan chegaralangan shaklning yuzi topilsin. ◄ Bu shakl 42-chizmada tasvirlangan. 42-chizma (1) formulaga ko'ra qaralayotgan shaklning yuzi bo'lib, bunda . Integralni hisoblab, topamiz: . ► 20. Jismning xajmi. 81-ma'ruzada fazodagi jismning xajmi tushunchasi va uning mavjudligi sharti bayon etilgan edi. Endi jismning xajmini ikki karrali integral orqali ifodalanishini ko'rsatamiz. fazoda Dekart koordinatalari sitemasi va unga nisbatan joylashgan jismni qaraylik. Bu jism yuqoridan ifodalagan sirt, yon tomondan yasovchilari o'qiga parallel silindrik sirt hamda pastdan tekisligidagi chegaralangan yopiq to'plam bilan chegaralangan jism bo'lsin. Bunda funksiyani da uzluksiz deb qaraymiz. to'plamning bo'laklashlarini olaylik. Unda , mavjud bo'ladi. Ushbu , yig'indilar mos ravishda jismni ichiga joylashgan ko'pyoqlikning xajmi, jismni o'z ichiga olgan ko'pyoqlikning xajmi bo'lib, bo'ladi. to'plamni turli bo'laklashlari natijasida hosil bo'lgan va to'plamlarning chegaralanganligidan , larning mavjud bo'lishi kelib chiqadi. funksiya yopiq to'plamda uzluksiz. Demak, u da tekis uzluksiz. Unda olinganda ham shunday topiladiki, to'plamning bo'lgan ixtiyoriy bo'laklash uchun har bir da () funksiyaning tebranishi tengsizlikni qanoatlantiradi. Shularni etiborga olib topamiz: Demak, . Keyingi munosabatdan bo'lishi kelib chiqadi. Bu esa jism xajmga ega bo'lishi va uning xajmi ning (2) ekanligini bildiradi. Ayni paytda, , va (2) tenglikka ko'ra (3) bo'ladi. (2) va (3) munosabatlardan (4) bo'lishi kelib chiqadi. 2-misol. Fazodagi sirt (paraboloid) hamda tekislik bilan chegaralangan jismning xajmi topilsin. ◄ Bu jism 43-chizmada tasvirlangan bo'lib, - tekislikdagi doiradan iborat. 43-chizma Sirtning tenglamasini ko'rinishda yozib, (4) formuladan foydalanib topamiz: , (5) bunda , (5) integralda o'zgaruvchilarni quyidagicha almashtirib hisoblaymiz: , , , , . Demak, jismning xajmi ga teng. 30. Sirtning yuzi. Faraz qilaylik, tekislikda yuzaga ega bo'lgan to'plamda funksiya berilgan bo'lib, u shu to'plamda uzluksiz , hosilalarga ega bo'lsin. Bu funksiyaning grafigi fazoda sirtni ifodalasin (44-chizma). 44- chizma Bunday sirtning yuza tushunchasi va uni ikki karrali integral orqali quyidagicha (6) ifodalanishi 92-ma'ruzada batafsil bayon etilgan. 3-misol. Asosining radiusi , balandligi ga teng doiraviy konusning yon sirti topilsin. ◄ Malumki, konus sirt ushbu tenglama bilan ifodalanadi. (6) formulaga ko'ra konusning yon sirti bo'ladi, bunda . Agar , , bo'lishini etiborga olsak, unda ekanini topamiz. ► 40. Ikki karrali integralning mexanikaga tadbiqlari. Aytaylik, tekislikda massaga ega bo'lgan moddiy ...