Integrallanuvchi funksiyalar sinfi. Integralning asosiy xossalari

Integrallanuvchi funksiyalar sinfi. Integralning asosiy xossalari Reja: 10. Uzluksiz funksiyalarning integrallanuvchi bo'lishi. 20. Uzilishga ega bo'lgan funksiyaning integrallanuvchi bo'lishi 30. Ikki karrali integralning xossalari. 40. O'rta qiymat haqidagi teoremalar. 10. Uzluksiz funksiyalarning integrallanuvchi bo'lishi. Uzluksiz funksiyalarning integrallanuvchi bo'lishini quyidagi teorema ifodalaydi. 1-teorema. Agar funksiya chegaralangan yopiq to'plamda uzluksiz bo'lsa, u shu to'plamda integrallanuvchi bo'ladi. ◄ Ixtiyoriy sonni olaylik. funksiya chegaralangan yopiq da uzluksiz. Binobarin, funksiya da tekis uzluksiz. Unda songa ko'ra, shunday son topiladiki, ning diametri bo'lgan bo'laklashning har bir bo'lagida funksiya-ning tebranishi uchun tengsizlik bajariladi. Shunday bo'laklashlarga nisbatan bo'ladi. Demak, funksiya da integrallanuvchi. 20. Uzilishga ega bo'lgan funksiyaning integrallanuvchi bo'lishi. Bazi bir uzilishga ega bo'lgan funksiyalarning integrallanuvchi bo'lishi haqidagi teoremani keltirishdan avval bitta sodda tasdiqni bayon etamiz. Aytaylik, tekislikda yuzaga ega bo'lgan to'plam berilgan bo'lib, esa shu to'plamga tegishli nol yuzali chiziq bo'lsin. Tasdiq. son olinganda ham, shunday topiladiki, ning diametri bo'lgan bo'laklash olinganda, bu bo'laklashning chiziq bilan umumiy nuqtaga ega bo'lgan bo'lakchalari yuzalarining yig'indisi dan kichik bo'ladi. ◄ chiziq nol yuzali bo'lganligi uchun shunday ko'pburchak topiladiki, 1) , 2) uchun bo'ladi. Aytaylik, bo'lsin. chiziq nuqtalari bilan nuqtalari orasidagi masofaning eng kichigini deylik. U holda bo'lgan bo'laklashning chiziq bilan umumiy nuqtaga ega bo'lgan burchaklari ko'pburchakka tegishli bo'ladi. Binobarin, bunday bo'lakchalar yuzalarining yig'indisi dan kichik bo'ladi. ► 2-teorema. Agar chegaralangan yopiq da berilgan bo'lib, bu to'plamga tegishli chekli sondagi nol yuzali chiziqlarda uzilishga ega, qolgan barcha nuqtalarda uzluksiz bo'lsa, funksiya da integrallanuvchi bo'ladi. ◄ Soddalik uchun funksiya dagi bitta nol yuzali chiziqda uzilishga ega, qolgan barcha nuqtalarda uzluksiz bo'lsin. Ixtiyoriy sonni olaylik. Unda , bo'lgan ko'pburchak ni va qismlarga ajratadi. Ravshanki, funksiya da tekis uzluksiz. Unda ga ko'ra shunday topiladiki, ning diametri bo'lgan bo'laklashining har bir bo'lakchasida funksiyaning tebranishi bo'ladi. Yuqoridagi tasdiqqa binoan ga ko'ra shunday topiladiki, ning diametri bo'lgan bo'laklashining ko'pburchak bilan umumiy nuqtaga ega bo'lgan bo'lakchalari yuzlari yig'indisi dan kichik bo'lishini topamiz. Endi deb diametri bo'lgan ning bo'laklashini olib, unga nisbatan tuzilgan Darbu yig'indi-larini ayirmasi (1) ni qaraymiz. (1) tenglikning o'ng tomonidagi yig'indi ta haddan iborat. Uni ikki qismga ajratamiz: bunda, bo'laklash bo'lakchasi larning ko'pburchakdan tashqari-sida joylashganlariga mos (1) ning hadlaridan iborat yig'indi, esa (1) ning qolgan barcha hadlaridan tashkil topgan yig'indi. Yuqorida aytilganlarni etiborga olib topamiz: . Bunda - funksiyaning dagi tebranishi. Keyin-gi tengsizlikdan bo'lishi kelib chiqadi. Demak, funksiya da integrallanuvchi. ► 30. Ikki karrali integralning xossalari. Ikki karrali integral ham [2] 35-ma'ruzada batafsil bayon etilgan aniq integralning xossalari singari qator xossalarga ega. Shuni ham aytish kerakki, ...