Ko'p o'zgaruvchili funksiya va uning limiti

Ko'p o'zgaruvchili funksiya va uning limiti Reja: 10. Ko'p o'zgaruvchili funksiya tushunchasi 20. Ko'p o'zgaruvchili funksiya limiti (karrali limiti) ta'riflari. 30. Funksiya limitining mavjudligi 40. Takroriy limitlar 10. Ko'p o'zgaruvchili funksiya tushunchasi. Faraz qilaylik, fazoda to'plam berilgan bo'lsin: . 1-ta'rif. Agar to'plamdagi har bir nuqtaga biror qoidaga ko'ra bitta haqiqiy son mos qo'yilgan bo'lsa, to'plamda ko'p o'zgaruvchili ( ta o'zgaruvchili) funksiya berilgan (aniqlangan) deyiladi. Uni yoki kabi belgilanadi. Bunda funksiyaning berilish (aniqlanish) to'plami, lar (erkli o'zgaruchilar) funksiya argumentlari, esa larning funksiyasi deyiladi. Masalan, - har bir nuqtaga ushbu qoida bilan bitta haqiqiy sonini mos qo'ysin. Bu holda to'plamda aniqlangan funksiya hosil bo'ladi. Aytaylik, funksiya (ko'p hollarda bu funksiyani kabi yozamiz) to'plamda berilgan bo'lsin. nuqtaga mos keluvchi son funksiyaning nuqtadagi xususiy qiymati deyiladi: . Berilgan funksiyaning barcha xususiy qiymatlaridan iborat ushbu (1) sonlar to'plam funksiya qiymatlari to'plami deyiladi. Agar (1) to'plam chegaralangan bo'lsa, funk-tsiya to'plamda chegaralangan deyiladi. fazodagi ushbu to'plam ko'p o'zgaruvchili funksiyaning grafigi deyiladi. Faraz qilaylik, yuqorida qaralayotgan funksiyada bo'lsin, bunda funksiya to'plamda aniqlangan bo'lib, bo'lganda unga mos bo'lsin. Natijada funksiya hosil bo'ladi. Uni murakkab funksiya deyiladi. 20. Ko'p o'zgaruvchili funksiya limiti (karrali limiti) ta'riflari. Faraz qilaylik, funksiya to'plamda berilgan, nuqta ning limit nuqtasi bo'lsin. U holda fazoda shunday : ketma-ketlik topiladiki: 1) da , 2) da bo'ladi (bunday ketma-ketliklar istalgancha bo'ladi). 2-ta'rif (Geyne). Agar 1) da ; 2) da shartlarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy ketma-ketlik uchun da bo'lsa, funksiyaning nuqtadagi limiti (karrali limiti) deyiladi. Uni yoki kabi belgilanadi. Eslatma. Agar ketma-ketliklar uchun da bo'lib, , bo'lsa, funksiya nuqtada limitga ega bo'lmaydi. 3-ta'rif (Koshi). Agar son olinganda ham shunday topilsaki, tengsizlikni qanoatlanti-ruvchi da tengsizlik bajarilsa, son funksiyaning nuqtadagi limiti (karrali limiti) deyiladi. Bu ta'rifni qisqacha qilib quyidagicha ham aytsa bo'ladi. Agar bo'lsa, soni funksiyaning nuqtadagi limiti deyiladi. 30. Funksiya limitining mavjudligi. Faraz qilaylik, funksiya to'plamda berilgan bo'lib, nuqta to'plamning limit nuqtasi bo'lsin. 1-teorema (Koshi). funksiya nuqtada limitga ega bo'lishi uchun son olinganda ham shunday son topilib, nuqtalarda tengsizlikning bajarilishi zarur va etarli. ◄ Zarurligi. Aytaylik, funksiya nuqtada limitga ega bo'lsin: . Limit ta'rifiga ko'ra, bo'ladi, Jumladan nuqtalar uchun bo'ladi. Keyingi tengsizliklardan bo'lishi kelib chiqadi. Yetarliligi. Aytaylik, son olinganda ham shunday son topiladiki, nuqtalar uchun tengsizlik bajariladi. nuqtaga intiluvchi ikkita ketma-ketlik-larni olamiz: da Bu ketma-ketliklar hadlaridan foydalanib, ushbu ketma-ketlikni hosil qilamiz. Uni ketma-ketlik deylik. Ravshanki, bu ketma-ketlikning ham limiti bo'ladi: da Limit ta'rifiga binoan yuqoridagi songa ko'ra shunday topiladiki, da bo'ladi. Teoremaning shartidan tengsizlikning bajarilishi kelib chiqadi. Demak, sonlar ketma-ketligi fundamental ketma-ketlik bo'ladi. ...