Ko'p o'zgaruvchili funksiyaning differensiali

Ko'p o'zgaruvchili funksiyaning differensiali Reja: 10. Funksiya differensiali tushunchasi. 20. Murakkab funksiyaning differensiali. Differen-tsial shaklning invariantligi 30. Sodda qoidalar 40. Xususiy hollar. Funksiya differensialining geometrik manosi 10. Funksiya differensiali tushunchasi. Faraz qilaylik, funksiya da berilgan bo'lib, nuqtada differensiallanuvchi bo'lsin. Unda ta'rifga ko'ra funksiyaning nuqtadagi to'liq orttirmasi (1) bo'ladi. Bu munosabatda bo'lib, da . 1-ta'rif. funksiyaning orttirmasidagi ifoda funksiyaning nuqtadagi differensiali (to'liq differensiali) deyiladi va yoki kabi belgilanadi: . Demak, funksiyaning nuqtadagi differensiali larga bog'liq va ularning chiziqli funksiyasi bo'ladi. Agar deyilsa, funksiyaning nuqtadagi differensiali ushbu (2) ko'rinishga keladi. Demak, . Keyingi tenglikdan da bo'lishi kelib chiqadi. Bu taqribiy formulaning mohiyati shundaki, funksiyaning orrtirmasi larning, umuman aytganda murakkab funksiyasi bo'lgan holda funksiyaning differensiali larning chiziqli funksiyai bo'lishidadir. 20. Murakkab funksiyaning differensiali. Differen-tsial shaklning invariantligi. Aytaylik, funksiyalarning har biri to'plamda berilgan bo'lib, to'plamda esa funksiya aniqlangan bo'lsin. Bular yordamida murakkab funksiya hosil qilingan bo'lsin. Malumki, funksiyalar nuqtada differensiallanuvchi bo'lib, funksiya mos nuqtada differensiallanuvchi bo'lsa, murakkab funksiya nuqtada differensialanuvchi bo'ladi. Modomiki, funksiya o'zgaruvchilarga bog'liq ekan, unda (3) bo'ladi. Murakkab funksiyaning xususiy hosilalarini hisoblash formulalaridan foydalanib topamiz: Bu xususiy hosilalarni (3) ifodadagi larning o'rniga qo'yamiz. Natijada bo'ladi. Ravshanki, Demak, murakkab funksiyaning differensiali (4) bo'ladi. Biz yuqorida hamda murakkab funksiyaning differentsallari uchun (2) va (4) ifodalarni topdik. Bu ifodalarni solishtirib ularning formasi (shakli, ko'rinishi) bir xil, yani (2) va (4) formulalarda funksiyaning differensiali xususiy hosilalarni mos differensiallarga ko'paytmalardan tuzilgan yig'indiga teng ekanligini payqaymiz. Bu xossa differensial shaklning invariantligi deyiladi. Eslatma. funksiya differensialining (2) ifodasi-dagi lar mos ravishda lar bo'lsa, funksiya differensialidagi lar o'zgaruv-chilarning funksiyalari bo'ladi. Demak, (2) va (4) formula-larning ko'rinishlarigina bir xil bo'ladi. 30. Sodda qoidalar. Aytaylik, funksiyalari to'plamda berilgan bo'lib, nuqtada differensiallanuvchi bo'lsin. U holda: 1) 2) 3) bo'ladi. Bu munosabatlardan birini, masalan, 3) ning isbotini keltiramiz. ◄Aytaylik, bo'lsin. Bu holda funksiya va larga va va lar o'z navbatida o'zgaruvchilarga bog'liq bo'lib, murakkab funksiyaga ega bo'lamiz. differensial shaklning invariant-li xossasiga ko'ra bo'ladi. Ravshanki, Demak, yani bo'ladi.► 40. Xususiy hollar. Funksiya differensialining geometrik manosi. Aytaylik, bo'lsin. Bu holda funksiya va uning differensiali ga ega bo'lamiz. Malumki, funksiyaning differensiali shu funksiya tasvirlangan egri chiziqqa nuqtada o'tkazil- gan urinmaning ordinatasining orttirmasini ifodalaydi (27-chizma) 27-chizma bo'lsin. Bu holda ikki o'zgaruvchili funksiyaga ega bo'lib, uning nuqtadagi differensial bo'ladi, bunda . va lar etarlicha kichik bo'lganda yani taqribiy formula hosil bo'ladi. 1-misol. Ushbu funksiyaning differensiali topilsin. ◄Ravshanki, Unda (5) formulaga ko'ra bo'ladi.► 2-misol. Tomonlari va bo'lgan to'g'ri to'rtburchak berilgan. Agar bu to'g'ri to'rtburchakning tomonini 5 sm. ga oshirilsa, u ...