Ko'p o'zgaruvchili funksiyaning ekstremumlari

Ko'p o'zgaruvchili funksiyaning ekstremumlari Reja: 10. Funksiya ekstremumi tushunchasi. Zaruriy shart 20. Funksiya ekstremumga erishishining etarli sharti 30. Xususiy hollar 10. Funksiya ekstremumi tushunchasi. Zaruriy shart. Faraz qilaylik, funksiya to'plamda berilgan bo'lib, bo'lsin. 1-ta'rif. Agar shunday son topilsaki, bo'lib, da bo'lsa, funksiya nuqtada lokal maksimumga, bo'lsa, funksiya nuqtada lokal minimumga erishadi deyiladi. 2-ta'rif. Agar shunday son topilsaki, bo'lib, da bo'lsa, funksiya nuqtada qatiy lokal maksimumga, bo'lsa, funksiya nuqtada lokal qatiy minimumga erishadi deyiladi. Funksiyaning lokal maksimumi, lokal minimumi umumiy nom bilan lokal ekstremumi deyiladi. Bunda nuqta funksiyaning lokal ekstremum nuqtasi, ga esa funksiyaning lokal ekstremum qiymati deyiladi. Funksiyaning maksimum (minimum) qiymati quyidagicha belgilanadi: Malumki, ayirma funksiyaning nuqtadagi to'liq orttirmasi deyilar edi. funksiya nuqtada lokal maksimumga erishsa, unda da bo'ladi va aksincha. Shuningdek, funksiya nuqtada lokal minimumga erishsa, unda da bo'ladi va aksincha. 1-teorema. Agar funksiya nuqtada lokal estremumga erishsa va shu nuqtada barcha xususiy hosilalarga ega bo'lsa, u holda bo'ladi. ◄Aytaylik, funksiya nuqtada lokal minimumga erishsin. U holda da tengsizlik bajariladi. Jumladan bo'ladi. Agar deyilsa, da bo'lib, bir o'zgaruvchili funksiya nuqtada lokal minimumga erishadi. Unda 25-ma'ruzada keltirilgan teoremaga ko'ra yani bo'ladi. Xuddi shunga o'xshash bo'lishi isbotlanadi.► 1-eslatma. Agar funksiya biror nuqtada lokal ekstremumga erishsa va shu nuqtada differensial-lanuvchi bo'lsa, u holda bo'ladi. 2-eslatma. funksiyaning biror nuqtada barcha xususiy hosilalarga ega va bo'lishidan berilgan funksiyaning shu nuqtada lokal estremumga erishishi har doim kelib chiqavermaydi. (misollar keyingi punktda keltiriladi). Demak, 1-teorema funksiyaning lokal ekstremumga erishishining zaruriy shartini ifodalaydi. funksiya xususiy hosilalarini nolga aylantiradi-gan nuqtalar uning statsionar nuqtalari deyiladi. 20. Funksiya ekstremumga erishishining etarli sharti. Aytaylik, funksiya nuqtaning biror atrofida berilgan, shu atrofda barcha ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega va bo'lsin. Bu funksiyaning Teylor formulasi (62-ma'ruzada keltirilgan Teylor formulasida bo'lgan hol), shartni hisobga olgan holda, quyidagicha (1) bo'ladi, bunda ikkinchi tartibli xususiy hosilalar nuqtada hisoblangan va . Berilgan funksiya ikkinchi tartibli xususiy hosila-larning statsionar nuqta dagi qiymatlarini bilan belgilaymiz. Barcha ikkinchi tartibli xususiy hosilalar larning nuqtada uzluksizligidan hamda bo'lishi kelib chiqadi, bunda . Natijada (1) tenglik ushbu ko'rinishga keladi. Agar deyilsa, so'ng da, yani da (bunda, da ) bo'lishini etiborga olsak, u holda (2) bo'lishini topamiz. Malumki, ayirma da ishora saqlasa, yani da bo'lsa, funksiya nuqtada lokal minimumga, bo'lsa, funksiya nuqtada lokal maksimumga erishadi. Yuqoridagi (2) tenglikdan ko'rinadiki, ning ishorasi koeffitsiyentlari bo'lgan (3) kvadratik formaga bog'liq bo'ladi. 2-teorema. Agar (3) kvadratik forma musbat aniqlangan bo'lsa, funksiya nuqtada lokal minimumga, manfiy aniqlangan bo'lsa, lokal maksimumga erishadi. Agar (3) kvadratik forma noaniq bo'lsa, funksiya ...