Ko'p o'zgaruvchili funksiyaning uzluksizligi. Tekis uzluksizlik. Kantor teoremasi

Ko'p o'zgaruvchili funksiyaning uzluksizligi. Tekis uzluksizlik. Kantor teoremasi Reja: 10. Ko'p o'zgaruvchili funksiya uzluksizligi tushunchasi 20. Uzluksiz funksiyalarning sodda xossalari. 30. To'plamda uzluksiz bo'lgan funksiyalarning xossalari. 40 Funksiyaning tekis uzluksizligi. Kantor teoremasi. 10. Ko'p o'zgaruvchili funksiya uzluksizligi tushunchasi. Faraz qilaylik, funksiya fazodagi to'plamda berilgan bo'lib, nuqta to'plamning limit nuqtasi bo'lsin. 1-ta'rif. Agar (1) bo'lsa, funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi. 2-ta'rif (Geyne). Agar 1) da ; 2) da shartlarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy ketma-ketlik uchun da bo'lsa, funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi. 3-ta'rif (Koshi). Agar bo'lsa, funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi. Umuman, funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi quyidagini anglatadi: . Odatda, ushbu ayirma, funksiyaning nuqtadagi orttirmasi (to'liq orttirmasi) deyiladi. Agar deyilsa, unda bo'ladi. Yuqoridagi (1) munosabatdan foydalanib quyidagi tasdiqni ayta olamiz: funksiyaning nuqtada uzluksiz bo'lishi uchun yani bo'lishi zarur va etarli. Yuqoridagi ta'riflar ekvivalent ta'riflar bo'ladi. Agar (1) munosabat bajarilmasa funksiya nuqta-da uzilishga ega deyiladi. 4-ta'rif. Agar funksiya to'plamning har bir nuqtasida uzluksiz bo'lsa, funksiya shu to'plamda uzluksiz deyiladi. Ko'p o'zgaruvchili funksiyalarda funksiyaning nuqtadagi to'liq orttirmasi tushunchasi bilan bir qatorda uning xususiy orttirmalari tushunchalari ham kiritiladi. Ushbu ayirmalar mos ravishda funksiyaning nuqtadagi o'zgaruvchilar bo'yicha xususiy orttirmalari deyiladi. Ravshanki, bo'ladi. Biroq, da bo'lishidan bo'lishi har doim kelib chiqavermaydi (bunga misol keyingi punktda keltiriladi). 20. Uzluksiz funksiyalarning sodda xossalari. Faraz qilaylik, va funksiyalar to'plamda berilgan bo'lib, nuqtada uzluksiz bo'lsin. U holda funksiyalar ham nuqtada uzluksiz bo'ladi, bunda Bu tasdiqning isboti 15-ma'ruzadagi mos tasdiqning isboti kabidir. Aytaylik, (2) funksiyalarning har biri to'plamda aniqlangan bo'lsin. Bu (2) munosabat natijasida to'plamning har bir nuqtasiga mos keluvchi fazoning nuqtasi hosil bo'ladi. Bunday nuqtalar to'plamini deylik. Ravshanki, bo'ladi. Faraz qilaylik, to'plamda funksiya aniqlangan bo'lsin. Natijada yani bo'lib, funksiya hosil bo'ladi. Uni murakkab funksiya deyilar edi. 1-teorema. Agar funksiyalar nuqtada uzluksiz, funksiya nuqtada uzluksiz bo'lsa, u holda murakkab funksiya nuqtada uzluksiz bo'ladi. ◄ Shartga ko'ra funksiya nuqtada uzluksiz. Unda ta'rifga binoan (3) bo'ladi. Ravshanki. (4) bo'ladi. Shartga ko'ra funksiyalar nuqtada uzluksiz. ta'rifga ko'ra uchun shunday topiladiki, bo'ladi, Endi deb olamiz. U holda va barcha lar uchun , yani bo'ladi. (3) va (4) munosabatlardan uchun bo'lishi kelib chiqadi. Demak, murakkab funksiya nuqtada uzluksiz.► 30. To'plamda uzluksiz bo'lgan funksiyalarning xossa-lari. Endi to'plamda uzluksiz bo'lgan funksiyalarning xossa-larini keltiramiz. 2- teorema. Agar funksiya chegaralangan yopiq to'plamda uzluksiz bo'lsa, funksiya da chegaralangan bo'ladi. ◄Aytaylik, funksiya shu to'plamda chegaralanmagan bo'lsin. Unda bo'ladi. Ravshpnki, ketma-ketlik chegaralangan. Boltsano-Veyershtrass teoremasiga ko'ra yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik mavjud: da va Ayni paytda, funksiyaning da uzluksizligidan da . bo'lishi kelib chiqadi. Bu esa da deyilishiga zid. Ziddiyat funksiyaning da ...