Ko'p o'zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari. Funksiyaning differensiallanuvchiligi

Ko'p o'zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari. Funksiyaning differensiallanuvchiligi Reja: 10. Funksiyaning xususiy hosilalari tushunchasi 20. Ko'p o'zgaruvchili funksiyaning differensial-lanuvchiligi. Zaruriy shart. 30. Funksiya differensiallanuvchiligining etarli sharti 40. Murakkab funksiyaning differensiallanuvchiligi, Murakkab funksiyaning hosilasi 50. Xususiy hollar 10. Funksiyaning xususiy hosilalari tushunchasi. Faraz qilaylik, funksiya to'plamda berigan bo'lib, bo'lsin. Bu funksiyaning nuqtadagi o'zgaruvchi bo'yicha xususiy ortirmasi ga bog'liq bo'ladi. 1-ta'rif. Ushbu limit mavjud bo'lsa, bu limit funksiya-ning nuqtadagi o'zgaruvchisi bo'yicha xususiy hosilasi deyiladi. Uni yoki kabi belgilanadi: Berilgan funksiyaning bu xususiy hosilasini quyidagicha ta'riflasa ham bo'ladi. Xuddi shunga o'xshash funksiyaning boshqa o'zgaruvchilari bo'yicha xususiy hosilalari ta'riflanadi: Yuqorida keltirilgan ta'riflardan ko'p o'zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari bir o'zgaruvchili funksiyaning hosilasi kabi ekanligi ko'rinadi. Demak, ko'p o'zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalarini topishda malum jadval va qoidalardan foydalanish mumkin. Jumladan, agar funksiyalar to'plamda berilgan bo'lib, nuqtada xususiy hosilalarga ega bo'lsa, u holda: 1) 2) 3) 4) bo'ladi. 20. Ko'p o'zgaruvchili funksiyaning differensial-lanuvchiligi. Zaruriy shart. Aytaylik, funksiya to'plamda berilgan bo'lib, bo'lsin. Malumki, berilgan funksiyaning nuqtadagi to'la orttirmasi bo'lib, u larga bog'liq bo'ladi. 2-ta'rif. Agar orttirmalarga bog'liq bo'lmagan shunday sonlari topilib, funksiyaning nuqtadagi to'liq orttirmasi ushbu (1) ko'rinishda ifodalansa, funksiya nuqtada differen-tsiallanuvchi deyiladi, bunda lar larga bog'liq va da cheksiz kichik miqdorlar. Agar hamda nuqta-lar orasidagi masofa uchun, da bo'lishini etiborga olsak, (1) munosabat ushbu (2) ko'rinishga keladi. Odatda, (1) va (2) munosabatlar funksiyaning nuqtada differensiallanuvchi sharti deyiladi. 1-misol. Ushbu funksiyaning nuqtada differensiallanuvchi bo'lishi ko'rsatilsin. ◄Berilgan funksiyaning nuqtadagi to'liq orttirmasini topamiz: Agar deyilsa, unda bo'ladi. Demak, berilgan funksiya nuqtada differensiallanuvchi.► Agar funksiya to'plamning har bir nuqtasida differensiallanuvchi bo'lsa, funksiya to'plamda differensiallanuvchi deyiladi. 1-teorema. Agar funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo'lsa, u holda funksiya shu nuqtada uzluksiz bo'ladi. ◄Shartga ko'ra funksiya nuqtada differensial-lanuvchi. Demak, funksiyaning shu nuqtadagi to'liq orttirmasi bo'ladi. Bu tenglikdan bo'lishini topamiz. Demak, funksiya nuqtada uzluksiz.► 2-teorema. Agar funksiya nuqtada differen-tsiallanuvchi bo'lsa, u holda funksiya shu nuqtada barcha xususiy hosilalarga ega va bo'ladi. ◄Shartga ko'ra funksiya nuqtada differensial-lanuvchi. Binobarin, (1) shart bajariladi. Unda deb olinsa, quyidagi tenglik hosil bo'ladi. Bu tenglikdan topamiz: . Demak, . Xuddi shunga o'xshash funksiyaning nuqtada xususiy hosilalarining mavjudligi hamda bo'lishi ko'rsatiladi.► Bu teoremadan nuqtada differensiallanuvchi funksiyaning orttirmasi uchun bo'lishi kelib chiqadi. Eslatma. funksiyaning biror nuqtada barcha xususiy hosilalari ning mavjud bo'lishidan, uning shu nuqtada differensiallanuvchi bo'lishi har doim kelib chiqavermaydi. (bunga misol keyingi punktda keltiriladi). Yuqorida keltirilgan teorema va eslatmadan funksiyaning nuqtada barcha xususiy hosilalarga ega bo'lish funksiyaning shu nuqtada differensiallanuvchi bo'lishining zaruriy sharti ekanligi kelib chiqadi. 30. Funksiya differensiallanuvchiligining etarli sharti. Faraz qilaylik, funksiya ...