Ko'p o'zgaruvchili funksiyaning yuqori tartibli hosila va differensiallari. Teylor formulasi

Ko'p o'zgaruvchili funksiyaning yuqori tartibli hosila va differensiallari. Teylor formulasi Reja: 10. Yuqori tartibli xususiy hosilalar 20. Yuqori tartibli differensialar. 30. Murakkab funksiyaning yuqori tartibli differen-tsiallari. 40. Ko'p o'zgaruvchili funksiyaning Teylor formulasi. 10. Yuqori tartibli xususiy hosilalar. Faraz qilaylik, funksiya ochiq to'plamning har bir nuqtasida xususiy hosilalarga ega bo'lsin. Bu xususiy hosilalar o'zgaruvchilarning funksiyasi bo'lib, ular ham xususiy hosilalarga ega bo'lishi mumkin: . Bu xususiy hosilalar berilgan funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalari deyiladi va kabi belgilanadi: . Agar bo'lsa, ikkinchi tartibli xususiy hosila aralash hosila deyiladi. Agar bo'lsa, ikkinchi tartibli xususiy hosilalar quyidagicha yoziladi. funksiyaning uchinchi, to'rtinchi va h.k. tartibdagi xususiy hosilalari xuddi yuqoridagiga o'xshash ta'rif-lanadi. Umuman, funksiyaning o'zgaruvchilari bo'yicha -tartibli xususiy hosilasi berilgan funksiyaning - tartibli xususiy hosilasi ning o'zgaruvchi bo'yicha xususiy hosilasi sifatida ta'riflanadi: . Bu holda ham lar bir-biriga teng bo'lmaganda aralash hosila deyiladi. Agar bo'lsa, - tartibli xususiy hosila-lar quyidagicha yoziladi. Ushbu aralash hosilalar funksiyaning turli o'zgaruvchilari bo'yicha differensiallash tartibi bilan farq qiladi: da funksiyaning avval o'zgaruvchisi bo'yicha, so'ng o'zgaruvchisi bo'yicha xususiy hosilasi hisoblangan bo'lsa, da esa avval o'zgaruvchisi bo'yicha, so'ng o'zgaruvchisi bo'yicha xususiy hosilasi hisoblangan. Ular bir-biriga teng ham bo'lishi mumkin, teng bo'lmasdan qolishi ham mumkin (misollar keyingi punktda keltiriladi). Aralash hisilalarning tengligini quyidagi teorema ifodalaydi. 1-teorema. Faraz qilaylik, funksiya nuqtada marta differensiallanuvchi bo'lsin. U holda nuqtada funksiyaning ixtiyoriy -tartibli aralash hosilalarning qiymati o'zgaruvchilar bo'yicha qanday tartibda differen-tsiallanishiga bog'liq bo'lmaydi. ◄Bu teoremaning isboti, keyingi punktda ikki o'zgaruvchili funksiya uchun keltiriladigan teorema isboti kabi bo'ladi.► 20. Yuqori tartibli differensialar. Faraz qilaylik, funksiya ochiq to'plamda berilgan, nuqtada ikki marta differensiallanuvchi bo'lsin. 1-ta'rif. funksiya differensiali ning differensiali berilgan funksiyaning nuqtadagi ikkinchi tartibli differensiali deyiladi va kabi belgilanadi: . Endi funksiya ikkinchi tartibli differensialini uning xususiy hosilalari orqali ifodalanishini ko'rsatamiz. Ravshanki, bo'lib, u ga hamda larga bog'liq bo'ladi. Bu tenglikda larni tayinlangan deb hisoblab, ni o'zgaruvchilarning funksiyasi siftaida qarab, uning differensialini topamiz: Bunda simvollik ravishda yozilishidan foydalaniladi. U quyidagicha tushuniladi: qavs ichidagi yig'indi kvadratga ko'tarilib, so'ng ga ko'paytiriladi. Keyin daraja ko'rsatkichlari xususiy hosilalar tartibi deb hisoblanadi. Demak, . (1) funksiyaning nuqtadagi uchinchi, to'rtinchi va h.k. tartibdagi differensiallari ham yuqoridagidek ta'riflanadi. Umuman, funksiyaning nuqtadagi -tartibli differensiali ning differensiali ning -tartibli differensiali deyiladi va kabi belgilanadi: . Agar, funksiya nuqtada marta differensialanuvchi bo'lsa, u holda (2) bo'ladi. 30. Murakkab funksiyaning yuqori tartibli differen-tsiallari. Biz yuqorida funksiyaning yuqori tartibli differentsallarini bayon etdik. Unda funksiya argumenti lar erkli o'zgaruvchilar edi. Aytaylik, funksiyada o'zgaruvchilarning har biri o'zgaruvchilarning funksiyalari bo'lsin . Qaralayotgan va funksiyalar marta ...