Laplas almashtirishlari. Asl va tasvir

Laplas almashtirishlari. Asl va tasvir Reja: 1. Original va tasvirlar. 2. Mavjudlik yagonalik teoremasi. 3. Ba'zi funksiyalarning tasvirlari. 1. Original va tasvirlar 1. Asosiy ta'riflar. Butun son uqida aniqlangan va quyidagi xossalarga ega bo'lgan f(t) funksiyani qaraymiz: 1°. f(t) funksiya Ot uqining istalgan chekli intervalida yo uzluksiz yoki chekli sondagi I tur uzilish nuqtalariga ega; 2°. t 0 va s0 0 sonlar mavjudki, barcha t lar uchun: 2°shart fizika va texnikaning ko'p masalalarida t argument vaqt sifatida qaratish munosabati bilan kiritiladi. Shuning uchun f(t) funksiya vaqtning biror boshlang'ich paytigacha (uni har doim nolga teng deb olish mumkin) o'zini qanday tutishi ahamiyatga ega emas. 3° shart t -∞ da f (f) funksiyaning o'sish xarakterini cheklaydi va bu bilan kelgusida uchraydigan ba'zi xosmas integrallarning mavjudligini ta'minlaydi. U f (t) funksiya ∞ da ko'rsatkichli funksiyadan sekinroq (tez emas) o'sishini bildiradi. Xususan, 3° shartni, masalan, istalgan chegaralangan funksiya qanoatlantiradi (bunday xolda s0=0 ekani ravshan), shuningdek, uni darajali funksiya ham qanoatlantiradi. s0 soni o'sish ko'rsatkichi deyiladi. Har bir f (t) funksiyaga F (р) = (1) deb faraz qilib, Р =S + i (s S0) kompleks o'zgaruvchining F(p) funksiyasini keltiramiz. F (p) funksiya f(t) funksiyaning tasviri, yo'qoridagi mos uchta shartni qanoatlantiruvchi f (t) funksiya esa original deyiladi. М - barcha f(t) originallar to'plami, N esa ularga mone tasvirlar to'plami bo'lsin. (1) formula M tuplamini N tuplamiga akslantiradi. Bu akslantirish Laplas operatori yoki akslantirish deyiladi. Agar F(p) f(t) funksiyaning tasviri bo'lsa, bu quyidagicha yoziladi: Izoh. Agar f(i) funksiya yo'qorida keltirilgan shartlardan hech bo'lmaganda bittasini qanoatlantirmasa, u original bo'lmaydi. Masalan, tg t va 1t funksiyalar original bo'la olmaydi, chunki ular II tur uzilish nuqtalariga ega. funksiya ham original bo'la olmaydi, chunki u 3° shartni qanoatlantirmaydi. U funksiyadan ko'ra tezroq o'sadi (M va s0 lar har qanday bo'lganda ham). 2. Mavjudlik yagonalik teoremasi. Quyidagi teoremalar o'rinlidir. Biz ularni isbotsiz keltiramiz. 1-Teorema. (tasvirning mavjudlik teoremasi). Har qanday f(t) original uchun Rep - s s 0 С bu yerda S0 - originalning ko'rsatkichi) yarim tekislikda akslangan F(p) tasvir mavjuddir (100-rasm). Bu yarim tekislikning har bir nuqtasida F (p) funksiya istalgan tartibli hosilaga ega. Bundan tashqari, agar Rer = s -v ∞ bo'lsa, u holda tasvir F(P)- 0. 2-Teorema. (originalning yagonalik teoremasi). Agar F(p) ikkita F1(t) F2(t) Originalning tasviri bo'lsa, u holda bu originallar ular uzluksiz bo'lgan barcha nuqtalarda o'zaro teng bo'ladilar. Pirovardida, tasvir chiziqlilik xossasiga ega ekanini kayd qilamiz. Bu quyidagini ...