O'rta qiymat haqida teorema. Yo'nalish bo'yicha hosila

O'rta qiymat haqida teorema. Yo'nalish bo'yicha hosila Reja: 10. O'rta qiymat haqida teorema. 20. Xususiy hollar. Yo'nalish bo'yicha hosila. 10. O'rta qiymat haqida teorema. Faraz qilaylik, funksiya to'plamda berilgan bo'lsin. Bu to'plamda shunday nuqtalarni qaraymizki, bu nuqtalarni birlashtiruvchi to'g'ri chiziq kesmasi to'plamga tegishli bo'lsin. Ravshanki, bu kesma ushbu nuqtalar to'plami bilan ifodalanadi: . 1-teorema. Agar funksiya kesmaning va nuqtalarida uzluksiz bo'lib, kesmaning qolgan barcha nuqtalarida differensiallanuvchi bo'lsa, u holda kesmada shunday nuqta topiladiki, (1) bo'ladi. ◄ funksiya kesmada quyidagi ko'rinishda bo'ladi. Bu o'zgaruvchining funksiyasini bilan belgilaylik: Ravshanki, funksiya segmentda uzluksiz bo'lib, da hosilaga ega bo'ladi. Bunda xususiy hosilalarning nuqtadagi qiymatlari olingan. Lagranj teoremasidan foydalanib topamiz: (2) Agar (3) hamda (4) bo'lishini etiborga olsak, so'ng ushbu belgilashlarini bajarsak, unda bo'lib, (2), (3) va (4) munosabatlardan bo'lishi kelib chiqadi.► Odatda, (1) formula Lagranjning chekli orttirmalar formulasi deyiladi. 20. Xususiy hollar. Yo'nalish bo'yicha hosila. bo'lganda yuqoridagi teoremada keltirilgan formula ko'rinishga keladi. Bu Lagranj teorema-sini ifolovchi formula bo'lib, 21-ma'ruzada o'rganilgan. bo'lganda (1) formula ko'rinishida bo'ladi. Malumki, funksiyaning hosilasi shu funksiyaning o'zgarishini (o'zgarish tezligini) ifodalar edi. ikki o'zgaruv-chili funksiyaning xususiy hosilalari funksiyaning mos ravishda hamda o'qlar bo'yicha o'zgarish tezligini bildiradi. Boshqacha aytganda funksiyaning xususiy hosilalari koordinata o'qlari yo'nalishi bo'yicha hosilalar bo'ladi. Endi funksiyaning tekislikdagi ixtiyoriy tayin yo'nalishi bo'yicha hosilasi tushunchasini keltiramiz. Faraz qilaylik, funksiya to'plamda berilgan bo'lsin. Bu funksiyani Dekart koordinatalar sistemasida tasvirlangan nuqtaning atrofida qaraymiz. Ushbu nuqtani olib, va nuqtalari orqali to'g'ri chiziq o'tkazamiz. Undagi ikki yo'nalishdan birini musbat yo'nalish (26-chizmada ko'rsatilgandek), ikkinchisini esa manfiy yo'nalish deb qabul qilamiz. Bu yo'nalgan to'g'ri chiziqni bilan belgilaymiz. va nuqtalar orasidagi masofa bo'lib, bu masofa vektorning yo'nalishi ning yo'nalishi bilan bir hil bo'lsa, musbat ishora bilan aks holda manfiy ishora bilan olinadi. Agar ning musbat yo'nalishi bilan va koordinata o'qlarining musbat yo'nalishilari orasidagi burchakni mos ravishda va deyilsa, (26-chizma) unda bo'lishi topiladi. 26-chizma 1-ta'rif. Agar limit mavjud bo'lsa, bu limit funksiyaning nuqtadagi yo'nalish bo'yicha hosila deyiladi. Uni yoki kabi belgilanadi. Demak, . 1-misol. Ushbu funksiyaning nuqtada barcha yo'nalishlar bo'icha hosilalarining mavjudligi ko'rsatilgan. ◄ Aytaylik, bo'lsin. Bu holda bo'lib, bo'ladi. Unda berilgan funktsining nuqtadagi bo'lgan ixtiyoriy yo'nalish bo'yicha hosilasi, ta'rifga binoan bo'ladi. Agar bo'lsa, unda bo'lib, bo'ladi. Agar bo'lsa, unda bo'lib, bo'ladi. Aytaylik, bo'lsin. Bu holda bo'lib, bu yo'nalishlar bo'yicha hosila bo'ladi.► 1-teorema. Agar funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo'lsa, u holda funksiya shu nuqtada har qanday yo'nalish bo'yicha hosilaga ega va (5) bo'ladi. ◄ Aytaylik, funksiya nuqtada dif-ferentsiallanuvchi bo'lsin. U holda orttirma uchun bo'ladi, bunda . Keyingi tenglikning har ...