Ostrogradskiy - Gauss formulasi

Ostrogradskiy-Gauss formulasi Reja: 1. Ostrogradskiy-Gauss formulasi. Vektor maydonning divergensiyasi .2. Vektor maydonning sirkulyatsiyasi va rotori. 1. Ostrogradskiy-Gauss formulasi. Vektor maydonning divergensiyasi Ostrogradskiy-Gauss formulasi fazoda yopiq sirt bo'yicha olingan sirt integralini shu sirt bilan chegaralangan soha (fazodagi soha) bo'yicha olingan uch karrali integralni bog'lovchi formula. Fazoda: pastdan tenglama bilan aniqlangan sirt; yuqoridan tenglama bilan aniqlangan sirt; yon tomondan yo'naltiruvchilari tekisligidagi (D) sohaning chegarasi ( soha larning tekislikdagi proyeksiyasi), yasovchilari esa o'qiga parallel bo'lgan yilindrik sirt bilan chegaralangan sohani (jismni) qaraylik. Bu sohani (V) bilan belgilaylik. Agar (V) sohani (jismni) o'rab turgan sirt (S) deyiladi, unda (S) sirt uchta , hamda sirtlardan tashkil topganligini aniqlaymiz (1-chizma). 1-chizma Faraz qilaylik, (V) da funksiya uzluksiz bo'lib, u uzluksiz hosilaga ega bo'lsin. Uch karrali integral hamda sirt integrallarining hisoblash qoidalaridan foydalanib topamiz: (qaralsin, [2]) Bunda, tenglikning o'ng tomonidan birinchi sirt integrali sirtning ustki tomoni bo'yicha, ikkinchi sirt integrali esа sirtning ostki tomoni bo'yicha olingan. Ravshanki, . Natija, bo'ladi. Demak, Xuddi shunga o'xshash, soha hamda , funksiyalar tegishli shartlarni qanoatlantirganda , bo'ladi. Keyingi tengliklarni hadlab qo'shib topamiz: (1) Bunda sirt integral sirtning tashqi tomoni bo'yicha olingan. (1) formula Ostrogradskiy-Gauss formulasi deyiladi. Biror vektor maydon va undagi yopiq sirt bilan o'ralgan soha (hajmli soha, qisqacha hajm) ni qaraylik. Ravshanki, sirtning tashqi tomoni bo'yicha vektor oqimi bo'ladi. Agar bo'lsa, u holda hajmda vektor chiziqlarning manbalari (chiqib turishlari, istochniki) mavjud deb yuritiladi. Agar bo'lsa, u holda hajmda vektor chiziqlarning yutilishlari (kirib turishlari, stoki) mavjud deb yuritiladi. Agar bo'lsa, hajmda vektor chiziqlarining manbalari ham yutilishlari ham bo'lmaydi, yoki ular mavjud bo'lsa, ular bir-birlari orasida farqni yo'qotadi. Shuni ham aytish kerakki, manbalar (istochniki) vektor chiziqlarning boshlanish nuqtalari yutilishlar (stoki) esa vektor chiziqlarining yakunlanish nuqtalari bo'ladi. Masalan, elektrostatik maydonda manbalar-musbat zaryadlar, yutilishlar esa manfiy zaryadlar bo'ladi. (2 -chizma). 2 -chizma Aytaylik, vektor maydonning vektor chiziqlarining manbalari (istochniki) hajm bo'yicha tarqalgan bo'lsin. Bu manbalarning zichligini aniqlash muhimdir. Uni aniqlash maqsadida hajmni bo'laklarga bo'lamiz. Bu bo'laklardan bittasini hajmi , undagi manbalar soni esa bo'lsin. Ravshanki, nisbat manbalarning o'rtacha zichligi bo'ladi. Ushbu limit nuqtadagi manbalar zichligi deyiladi. Bu zichlik vektor maydonning divergensiyasi deyiladi va kabi belgilanadi. Demak, Endi bo'lishini e'tiborga olib topamiz: Ostrogradskiy-Gauss formulasiga ko'ra bo'ladi. Demak, O'rta qiymat haqidagi teoremadan foydalanib topamiz: Ravshanki, da Shunday qilib ( 2 ) bo'ladi. Eslatma. Ostrogradskiy-Gauss formulasi divergensiya orqali quyidagicha yoziladi. Aytaylik, vektor maydon suyuqlik oqimining tezligini ifodalasin. Agar bo'lsa, u holda nuqtaning yetarlicha kichik atrofida (markazi nuqtada radiusi yetarlicha kichik bo'lgan sferada) suyuqlikning oqib ketishi suyuqlikning kelib ...