Parametrga bog'liq xosmas integrallar

Parametrga bog'liq xosmas integrallar Reja: 10. Parametrga bog'liq xosmas integral tushunchasi. 20. Integralning tekis yaqinlashishi. 30. Parametrga bog'liq xosmas integrallarning parametr bo'yicha tekis yaqinlashish alomatlari. 10. Parametrga bog'liq xosmas integral tushunchasi. Faraz qilaylik, funksiya to'plamda berilgan bo'lsin. Bu funksiya ќar bir tayin da o'zgaruvchining funksiyasi sifatida da integrallanuvchi, yani xosmas integral yaqinlashuvchi. Ravshanki, integralning qiymati o'zgaruvchiga bog'liq bo'ladi: . (1) Masalan, bo'lganda bo'ladi. Demak, bu ќolda bo'ladi. (1) integral parametrga bog'liq chegarasi cheksiz xosmas integral, esa parametr deyiladi. Xuddi shunga o'xshash parametrga bog'liq xosmas integrallar tushunchalari kiritiladi. Aytaylik, funksiya to'plamda berilgan bo'lsin. Bu funksiya ќar bir tayin da o'zgaruvchining funksiyasi sifatida qaralganda uning uchun maxsus nuqta bo'lib, u da integrallanuvchi, yani xosmas integral yaqinlashuvchi bo'lsin. Ravshanki, bu ќolda ќam integralning qiymati o'zgaruvchiga bog'liq bo'ladi: . (2) Masalan, bo'lganda bo'ladi. Demak, bu ќolda bo'ladi. (2) integral parametrga bog'liq, chegaralanmagan funksiyaning xosmas integrali, esa parametr deyiladi. Umumiy ќolda, parametrga bog'liq, chegaralanmagan funksiyaning chegarasi cheksiz integrali tushunchasi ќam yuqoridagidek kiritiladi. Parametrga bog'liq xosmas integrallarning funksional xossalari (limiti, uzluksizligi, differensiallanishi integrallanishi)ni integral uchun keltirish bilan kifoyalanamiz. 20. Integralning tekis yaqinlashishi. Aytaylik, funksiya to'plamda berilgan bo'lib, ќar bir tayin da xosmas integral yaqinlashuvchi bo'lsin. ta'rifga binoan bo'ladi. Natijada berilgan funksiya yordamida funksiyalar yuzaga keladi va munosabat bajariladi. Demak, funksiya da limit funksiya ga ega bo'ladi. 1-ta'rif. Agar da funksiya limit funksiya ga to'plamda tekis yaqinlashsa, integral to'plamda tekis yaqinlashuvchi deyiladi. Integralning to'plamda tekis yaqinlashuvchiligini quyidagicha anglash lozim: 1) ќar bir tayin da xosmas integral yaqinlashuvchi; 2) olinganda ќam, shunday topiladiki, va uchun tengsizligi bajariladi. 1-misol. Ushbu xosmas integralning da tekis yaqinlashuvchi ekani ko'rsatilsin. ◄ Ќar bir tayin da qaralayotgan xosmas integralning yaqinlashuvchi ekanligi ravshan. ga ko'ra deyilsa, unda va uchun bo'ladi. Demak, berilgan integral da tekis yaqinlashuvchi.► 2-ta'rif. Agar da funksiya limit funksiya ga to'plamda tekis yaqinlashmasa, integral to'plamda tekis yaqinlashmaydi deyiladi. Integralning to'plamda yaqinlashuvchi, ammo uning shu to'plamda tekis yaqinlashmaydi degani quyidagini anglatadi: 1) ќar bir tayin da xosmas integral yaqinlashuvchi; 2) olinganda ќam, shunday va bo'lgan topiladiki, bo'ladi. 2-misol. Ushbu xosmas integralning da tekis yaqinlashmasligi ko'rsatilsin. ◄Ravshanki, . Demak, berilgan xosmas integral yaqinlashuvchi. Aytay-lik, bo'lsin. Ixtiyoriy musbat sonni olaylik. Agar va deb olsak, u ќolda bo'ladi. Bu esa integral da tekis yaqinlashmasligini bildiradi.► Yuqoridagi parametrga bog'liq xosmas integralning parametr bo'yicha to'plamda tekis yaqinlashishini quyidagicha ќam ta'rif-lasa bo'ladi. 3-ta'rif. Agar bo'lsa, xosmas integral to'plamda tekis yaqinlashuvchi deyiladi. 3-misol. Ushbu xosmas integralninig to'plamda tekis yaqinlashuvchi ekani ko'rsatilsin. ◄ Ravshanki, uchun bo'lib, bo'ladi. Demak, berilgan xosmas ...