Parametrga bog'liq xosmas integrallarning funksional xossalari

Parametrga bog'liq xosmas integrallarning funksional xossalari Reja: 10. funksiyaning limiti. 20. funksiyaning uzluksizligi 30. funksiyani differensiallash. 40. funksiyani integrallash. Ushbu parametrga bog'liq xosmas integral ning limiti, uzluksizligi, differensiallanishi ќamda integrallanishi masalalarini bayon etamiz. 10. funksiyaning limiti. Aytaylik, funksiya to'plamda berilgan, esa Ye to'plamning limit nuqtasi bo'lsin. 1-teorema. funksiya qo'yidagi shartlarni bajar-sin: 1) ќar bir tayin da funksiya o'zgaruvchining funksiyasi sifatida da uzluksiz; 2) da funksiya ixtiyoriy da limit funksiya ga tekis yaqinlashsin; 3) ushbu integral Ye to'plamda tekis yaqinlashuvchi bo'lsin. U ќolda da funksiya limitga ega va bo'ladi. ◄Teoremaning 1- va 2- shartlarining bajarilishidan funksiyaning da uzluksiz bo'lishini topamiz. Binobarin, ixtiyoriy da integrallanuvchi bo'ladi. Modomiki, integral to'plamda tekis yaqinlashuvchi ekan, unda 77-ma'ruzadagi 1-teoremaga ko'ra , , : bo'ladi. Keyingi tengsizlikda, da limitga o'tsak, u ќolda tengsizlik ќosil bo'ladi. Bundan funksiyaning da integrallanuvchiligi kelib chiqadi. Ushbu ayirmani qaraymiz. Uning uchun quyidagi tengsizlik bajariladi: . (1) Bu tengsizlikning o'ng tomonidagi qo'shiluvchilarni baќolaymiz. integral to'plamda tekis yaqinlashuv-chi bo'lganligi sababli, (2) bo'ladi. integral yaqinlashuvchi bo'lganligi sababli (3) bo'ladi. Ravshanki, da (2) va (3) tensizliklar bir yo'la bajariladi. Funksiya da da limit funksiya ga tekis yaqinlashuvchi bo'lganligi sababli (4) bo'ladi. (1), (2), (3) va (4) munosabatlardan bo'lishi kelib chiqadi. Demak . ► Keyingi tenglikni quyidagicha ќam yozish mumkin . 1- misol. Ushbu tenglik isbotlansin. ◄ Agar funksiyaning nuqtadagi qiymati-ni deb olinsa, unda funksiya to'plamda uzluksiz bo'ladi. Ravshanki, ќar bir tayin da funksiya o'zgaruvchining funksiyasi sifatida da uzluksiz bo'lib, da bu funksiya ixtiyoriy da funksiyaga tekis yaqinlashadi. Endi, xosmas integralni parametr bo'yicha da tekis yaqinlashuvchi bo'lishini ko'rsatamiz. Agar 77-ma'ruzada keltirilgan Abel alomatida funksiya sifatida , funksiya sifatida funksiyalar olinsa, ular uchun Abel alomatining barcha shartlarining o'rinli bo'lishini ko'rsatish qiyin emas. Demak, alomatga ko'ra integral tekis yaqinlashuvchi. Yuqorida keltirilgan 1-teoremaga binoan bo'lib, undan bo'lishi kelib chiqadi. ► 20. funksiyaning uzluksizligi. Aytaylik, funksiya to'plamda berilgan bo'lsin. 2-teorema. Agar funksiya to'plamda uzluksiz bo'lib, integral da tekis yaqinlashuvchi bo'lsa, u ќolda funksiya da uzluksiz bo'ladi. ◄Ixtiyoriy , nuqtalarni olib, funksiyaning orttirmasini topamiz: . Shartga ko'ra integral da tekis yaqinla-shuvchi. Unda : (5) bo'ladi. Ravshanki, funksiya to'plamda tekis uzluksiz bo'ladi. Unda (6) bo'ladi. Agar deyilsa uning uchun (5) va (6) tengsizliklar bir yo'la bajariladi. (5) va (6) munosabatlarni etiborga olib topamiz: Demak, . Bu esa funksiyaning oraliqda uzluksizligini bildiradi. ► 2-misol. Ushbu integral parametr ning uzluksiz funksiyasi bo'lishi ko'rsatilsin. ◄ Berilgan integralda almashtirish bajaramiz. Unda bo'lib, bu yig'indining ќar bir qo'shiluvchisi ning uzluksiz funksiyasi bo'lgani uchun berilgan integral parametr ning uzluksiz ...