Rm fazo. Rm fazoda ochiq va yopiq to'plamlar

fazo. fazoda ochiq va yopiq to'plamlar Reja: 10. fazo tushunchasi 20. fazoda nuqtaning atrofi. 30. fazoda ochiq va yopiq to'plamlar. 40. fazoda to'g'ri chiziq va kesma. 50. Xususiy hollar. 10. fazo tushunchasi. Haqiqiy sonlar to'plami yordamida ushbu (1) to'plamni ( ning dekart ko'paytmalaridan tuzilgan to'plamni) hosil qilaylik. Ravshanki, (1) to'plamning har bir elementi ta haqiqiy sonlardan tashkil topgan tartiblangan lik dan iborat bo'ladi. Uni (1) to'plamning nuqtasi deyilib, bitta harf bilan belgilanadi: . Bunda sonlar nuqtaning mos ravishda birinchi, ikkinchi, ,-koordinatalari deyiladi. Agar , nuqtalar uchun , bo'lsa, deyiladi. Faraz qilaylik, , lar (1) to'plamning ixtiyoriy ikki nuqtasi bo'lsin. Ushbu miqdor va nuqtalar orasidagi masofa deyiladi va kabi belgilanadi: . (2) Endi masofaning xossalarini keltiramiz: Har doim va bo'ladi. ◄ (2) munosabatga ko'ra, har doim bo'ladi. Agar bo'lsa, unda bo'lib, natijada , yani bo'lishi kelib chiqadi. Aksincha, agar bo'lsa, unda (2) munosabatdan foydalanib bo'lishini topamiz.► 2) masofa va ularga nisbatan simmetrik bo'ladi: . ◄ Bu xossanig isboti (2) munosabatdan kelib chiqadi: .► (1) to'plamning ixtiyoriy , , nuqtalari uchun tengsizlik o'rinli bo'ladi. ◄Malumki, ixtiyoriy va haqiqiy sonlar uchun (3) bo'ladi (qaralsin, [1], 12-bob, 1-§; odatda bu tengsizlikni Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi deyiladi). (3) tengsizlikda deb topamiz: . Bu esa bo'linishi bildiriladi.► Shunday qilib, (1) to'plamda (to'plam elementlari orasida) masofa tushunchasining kiritilishini hamda masofa uchta xossaga ega bo'lishini ko'rdik. Odatda, (1) to'plam fazo deyiladi. Demak, . Endi fazodagi bazi bir to'plamlarni keltiramiz. Aytaylik, biror nuqta va son berilgan bo'lsin. Ushbu qisqacha, to'plam markazi nuqta, radiusi bo'lgan shar ( o'lchovli shar) deyiladi. Quyidagi to'plam fazoda yopiq shar, to'plam esa, fazoda sfera ( o'lchovli sfera) deyiladi. Ravshanki, bo'ladi. Ushbu to'plam fazoda parallelepiped deyiladi, bunda haqiqiy sonlar. 20. fazoda nuqtaning atrofi. Biror nuqta hamda son berilgan bo'lsin. 1-ta'rif. Markazi nuqtada radiusi bo'lgan fazodagi shar, nuqtaning sferik atrofi deyiladi va kabi belgilanadi: . 2-ta'rif. Ushbu parallelepiped nuqtaning parallelepipedial atrofi deyiladi va kabi belgilanadi, bunda . fazodagi nuqtaning bu atroflari orasidagi munosabatni quyidagi lemma ifodalaydi. Lemma. nuqtaning har qanday sferik atrofi olinganda ham har doim nuqtaning shunday parallelepipedial atrofi topiladiki, bo'ladi. Shuningdek, nuqtaning har qanday paral-lelepepidial atrofi olinganda ham har doim nuqtaning shunday sferik atrofi topiladiki, bo'ladi. ◄ nuqtaning sferik atrofi berilgan bo'lsin. Demak, son berilgan. Unga ko'ra tengsizlikni qanoatlantiruvchi sonni olib, nuqtaning ushbu paralleipipedial atrofini tuzamiz. Natijadi nuqtaning va atroflariga ega bo'lamiz. Aytaylik, bo'lsin. Unda bo'lib, bo'ladi. Yuqoridagi tengsizlikni etiborga olib topamiz: . Demak, bo'lib, bo'ladi. Bundan bo'lishi kelib chiqadi. nuqtaning parallelepipedial atrofi berilgan bo'lsin. Berilgan ...