Sirt va uning yuzi haqida

Sirt va uning yuzi haqida Reja: 10. Sirt tushunchasi 20. Sirt yuzi va uni hisoblash. Mazkur kurs davomida egri chiziq, uning tenglamalari, egri chiziqning uzunligi, uzunlikka ega bo'lmagan egri chiziq haqida ma'lumotlar keltiriladi. Tekislikda egri chiziq ushbu tenglamalar sistemasi bilan (xususan, , tenglama bilan) aniqlanishini ko'rdik. Ravshanki, egri chiziq , funksiyalarga bog'liq. Agar , funksiyalar da uzluksiz hosilalarga ega bo'lsa, uni silliq egri chiziq deyilardi. Egri chiziqlar nazariyasida muhim tushunchalardan biri egri chiziqning uzunligi bo'lib, u egri chiziqqa chizilgan siniq chiziq perimetrining limiti sifatida ta'riflanganligi va uning uzunligi quyidagi formula bilan ifodalanishi ma'ruzalarda bayon etilgan. Tekislikda egri chiziq tushunchasiga o'xshash fazoda sirt tushunchasi kiritilsada, uning o'ziga xos tomonlari mavjud. Fazoda sodda sirtlar - sfera, silindr va shunga o'xshash sirtlar va ularning yuzi, yuzining hisoblash formulalari o'quvchiga malum. Biz quyida umumiy ko'rinishdagi sirtlar, ularning yuzi, yuzini topish formulalari kurs uchun kerak bo'ladigan hajmda qisqacha bayon etamiz. 10. Sirt tushunchasi. Aytaylik, tekislikdagi to'plamda , , (1) funksiyalar berilgan bo'lib, ular da uzluksiz bo'lsin. nuqtani olib, yuqoridagi funksiyalarning shu nuqtadagi qiymatlarini topamiz: . Hosil bo'lgan ni fazodagi nuqtaning koordinatalari deb qaraymiz: . Ravshanki, nuqta to'plamda o'zgarganda lar fazoda biror to'plamni hosil qiladi. Demak, (1) munosabatni to'plamni to'plamga uzluksiz akslantirish deb qarash mumkin. Agar (1) akslantirish o'zaro bir qiymatli akslantirish bo'lsa, yani to'plamning turli nuqtalarini to'plamning turli nuqtalariga akslantirsa, to'plamni fazoda sirt deb qarash mumkin. Odatda, bunday sirtlar sodda sirtlar deyiladi. Shu sababli (2) tenglamalar sistemasi sirtning parametrik tenglamasi deyiladi, bunda va lar parametrlar. Xususan ( bo'lganda) ushbu tenglamalar sitemasi aniqlaydigan sirt (3) tenglama bilan ifodalanadi. Faraz qilaylik, (1) funksiyalar to'plamda uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo'lib, ular yordamida quyidagi (4) funksional matritsa tuzilgan bo'lsin. Aytaylik, nuqta uchun (bu nuqtaning sirtda aksi bo'ladi) (4) matritsaning ikkinchi tartibli determinantidan kamida bittasi noldan farqli, masalan deylik. Unda oshkormas funksiyalar haqidagi teoremaga ko'ra sirtning nuqta atrofidagi qismi quyidagi (5) tenglama bilan ifodalanadi, bunda funksiya uzluksiz va uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo'ladi. Agar uchun (4) matritsaning barcha ikkinchi tartibli determinantlari nolga teng bo'lsa, sirtning nuqtasi, uning maxsus nuqtasi deyiladi. Sirtning maxsus nuqta atrofidagi qismini (5) ko'rinishda ifodalab bo'lmaydi. Faraz qilaylik, sirt tenglama bilan aniqlangan bo'lsin. Bunda funksiya tekislikdagi to'plamda uzluksiz va uzluksiz xususiy hosilalarga ega. Bunday sirt har bir nuqtada urinma tekislikka ega. Urinma tekiclikning tenglamasi ushbu ko'rinishda bo'ladi, bunda lar urinma tekilikdagi o'zgaruvchi nuqtaning koordinatalari. Modomiki, sirt nuqtada urinma tekislikka ega ekan, unda shu nuqtada sirtning normalini aniqlash mumkin. (Malumki, sirtning nuqtasidan o'tuvchi va shu nuqtadagi urinma tekislikka ...