Stoks va Ostrogradskiy formulalari

Stoks va Ostrogradskiy formulalari Reja: 10. Stoks formulasi 20. Ostrogradskiy formulasi 10. Stoks formulasi. Fazoda ushbu (1) (1) tenglama bilan aniqlangan sirtni qaraylik. Uning tekislikdagi proyeksiyasi to'plamni (shaklni) hosil qilsin. sirt va shaklning chegaralovchi yopiq chiziqlarni (konturlarni) mos ravishda va deylik. Ravshanki, ning proyeksiyasi bo'ladi. Sirt tomoni va konturi yo'nalishlari uning proyeksiyalari yo'nalishlari orasidagi muvofiqlik 62- chizmada keltirilgan. 62-chizma Aytaylik, (1) tenglamadagi funksiya to'plamda uzluksiz va uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo'lsin. Faraz qilaylik, sirtda funksiya aniqlangan bo'lib, u uzluksiz va uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo'lsin. Ravshanki, bunday holda ushbu egri chiziqli ushbu integral mavjud bo'ladi. Bunda kontur yo'nalishning sirt tomoni bilan muvofiqligi 29-chizmada ifodalangan. Modomiki, kontur sirtga tegishli ekan, unda ning nuqtalari tenglamani qanoatlantiradi. Binobarin, da funksiya bo'lib, u da berilgan ikki o'zgaruvchili funksiyaga aylanadi. Shuning uchun (2) bo'ladi. Grin formulasi (qaralsin, 93-ma'ruza) dan foydalanib topamiz: . Bu tenglikning o'ng tomonidagi integral ostidagi xususiy hosila quyidagicha bo'lib, bo'ladi. Malumki, sirtning ustki tomoni qaralganda uning normalining yo'naltiruvchi kosinuslari , , bo'ladi. Bu munosabatlardan bo'lishi kelib chiqadi. Natijada (3) bo'ladi. Endi keyingi tenglikdagi ikki karali integralni avvalgi ma'ruzada keltirilgan formuladan foydalanib ikkinchi tur sirt integrali orqali quyidagicha (4) yozib olamiz. So'ng bu ikkinchi tur sirt integrali uchun, birinchi va ikkinchi tur sirt integrallarini o'zaro bog'lovchi ushbu (5) formulalarga ko'ra (6) bo'lib, bu tenglikdagi birinchi tur sirt integrallari yana (5) formulalarga binoan (7) bo'ladi. Yuqoridagi (2), (3), (4), (6) va (7) munosabatlardan (8) bo'lishi kelib chiqadi. Xuddi shunga o'xshash sirt va unda aniqlangan , funksiyalar uchun tegishli shartlarda (9) bo'lishi ko'rsatiladi. (8) va (9) tengliklarni hadlab qo'shib topamiz: (10) . (10) formula Stoks formulasi deyiladi. Stoks formulasi sirt bo'yicha olingan sirt integralini shu sirtning chegarasi yopiq egri chiziq bo'yicha olingan egri chiziqli integral orasidagi bog'lanishni ifodalaydi. 20. Ostrogradskiy formulasi. Bu formula fazoda chegaralangan jism (to'plam) bo'yicha olingan uch karrali integralni shu jismni o'rab turuvchi yopiq sirt bo'yicha olingan sirt integrali bilan bog'lanishini ifodalaydi. Aytaylik, to'plam ushbu , sirtlar hamda yasovchilari o'qiga parallel bo'lgan silindrik sirt bilan chegaralangan to'plam bo'lib, bu silindrik sirtning tekislikdan ajratgan qismi to'plamni ifodalasin. Bunda uchun deylik. Bu holda jismni o'rab turgan sirt - tenglama bilan aniqlangan sirt, tenglama bilan aniqlangan sirt va yasovchilari o'qiga parallel, yo'naltiruvchilari bo'lgan silindrik sirt dan iborat bo'ladi. (63-chizma) 63-chizma Aytaylik, da funksiya aniqlangan bo'lib, u da uzluksiz va uzluksiz xususiy hosilaga ega bo'lsin. Bu holda funksiyaning to'plam bo'yicha uch karrali integrali mavjud bo'lib, 87-ma'ruzada keltirilgan formulaga ko'ra bo'ladi. Ravshanki, Demak, (11) Bu tenglikning o'ng ...