Tekis yaqinlashuvchi funksional qatorlarning xossalari

Tekis yaqinlashuvchi funksional qatorlarning xossalari Reja: 10. Funksional qator yig'indisining uzluksizligi. 20. Funksional qatorlarni hadlab integrallash. 30. Funksional qatorlarni hadlab differensiallash. Mashqlar 10. Funksional qator yig'indisining uzluksizligi. Faraz qilaylik, to'plamda (1) funksional qator berilgan bo'lib, uning yig'indisi bo'lsin. 1-teorema. Aytaylik, (1) qator ushbu shartlarni bajarsin: 1) qatorning har bir hadi to'plamda uzluksiz, 2) qator da tekis yaqinlashuvchi. U holda funksional qatorning yig'indisi funksiya to'plamda uzluksiz bo'ladi. ◄ Aytaylik, , bo'lsin. Teoremaning 2) - shartiga ko'ra bo'ladi. ta'rifga binoan va da (2) jumladan (3) tengsizliklar bajariladi. Ravshanki, (2) va (3) tengsizliklar ning dan katta biror tayin qiymatida ham o'rinli bo'ladi: , () . () Teoremaning 1) shartidan va chekli sondagi uzluksiz funksiyalar yig'indisi yana uzluksiz bo'lishidan funksiyaning to'plamda uzluksiz ekanligi kelib chiqadi. Demak, funksiya da uzluksiz. Unda, ta'rifga binoan tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha da (4) bo'ladi. Yuqoridagi (), () va (4) tengsizliklardan foydalanib topamiz: Bu esa funksiyaning nuqtada uzluksiz bo'lishini bildiradi. Modomiyki, nuqta to'plamning ixtiyoriy nuqtasi ekan, funksiya to'plamda uzluksiz bo'ladi.► Yuqorida keltirilgan teoremaning shartlari bajaril-ganda uning tasdig'ini quyidagicha ifodalash mumkin. 20. Funksional qatorlarni hadlab integrallash. Faraz qilaylik, segmentda (5) funksional qator berilgan bo'lsin. 2-teorema. Aytaylik, (5) qator quyidagi shartlarni bajarsin: 1) qatorning har bir hadi segmentda uzluksiz, 2) qator segmentda tekis yaqinlashuvchi, 3) . U holda qator da yaqinlashuvchi va bo'ladi. ◄ Berilgan funksional qatorning qismiy yig'indisi ni olamiz. Unda teoremaning 2) - va 3) - shartlariga ko'ra bo'ladi. Tekis yaqinlashish ta'rifiga binoan va da tengsizlik bajariladi. Teoremaning 1) - shartidan hamda yuqorida isbot etilgan 1-teoremadan foydalanib integrallarning mavjudligini topamiz. Ushbu funksional qatorni qaraymiz. Bu qatorning qismiy yig'indisi bo'lsin. Ravshanki, . Demak, . Endi funksional qatorning da tekis yaqinlashuvchiligini ko'rsatamiz. Quyidagi ayirma uchun bo'ladi. Demak, . Bu esa funksional qatorni da tekis yaqinlashuvchiligi va bo'lishini bildiradi.► Keltirilgan teoremaning shartlari bajarilganda teoremaning tasdig'ini quyidagicha ifodalash mumkin. 30. Funksional qatorlarni hadlab differensiallash. Faraz qilaylik, segmentda (6) funksional qator berilgan bo'lsin. 3-teorema. Aytaylik, (6) funksional qator quyidagi shartlarni bajarsin: 1) qatorning har bir hadi segmentda uzluksiz hosilaga ega, 2) Ushbu funksional qator da tekis yaqinlashuvchi, 3) nuqta mavjudki, qator yaqinlashuvchi. U holda a) funksional qator da tekis yaqinlashuvchi, b) bu qatorning yig'indisi da uzluksiz hosilaga ega, v) bo'ladi. ◄ Ushbu qatorning yig'indisini bilan belgilaylik: . (7) Bu qator tekis yaqinlashuvchi va har bir hadi da uzluksiz. Yuqorida keltirilgan 2 - teoremaga ko'ra (7) ni hadlab integrallash mumkin: , bunda . Ayni paytda, funksional qator da tekis yaqinlashuvchi. Ravshanki, . Demak, qator tekis yaqinlashuvchi. Shartga ...