Teylor qatori

Teylor qatori Reja: 10. Funksiyaning Teylor qatori. 20. Funksiyani Teylor qatoriga yoyish. 30. Elementar funksiyalarni Teylor qatoriga yoyish. 10. Funksiyaning Teylor qatori. Aytaylik, funksiya nuqtaning biror atrofida istalgan tartibdagi hosilaga ega bo'lsin. Bu hol funksiyaning Teylor formulasini yozish imkonini beradi: , bunda -qoldiq had. Modomiki, funksiya da istalgan tartibdagi hosilaga ega ekan, unda (1) darajali qatorni qarash mumkin bo'ladi. (1) darajali qatorning koeffitsiyentlari sonlar bo'lib, ular funksiya va uning hosilalarining nuqtadagi qiymatlari orqali ifodalangan. (1) darajali qator funksiyaning Teylor qatori deyiladi. Xususan, bo'lganda (1) darajali qator ushbu ko'rinishga keladi. Faraz qilaylik, funksiya biror da istalgan tartibdagi hosilaga ega bo'lib, uning nuqtadagi Teylor qatori (2) bo'lsin. Bu qatorning qoldiq hadini deylik: . 1-teorema. (2) darajali qator da ga yaqinlashishi uchun ushbu Teylor formulasida, uchun bo'lishi zarur va etarli. ◄ Zarurligi. Aytaylik, (2) darajali qator da yaqinlashuvchi, yiindisi bo'lsin. ta'rifga binoan bo'ladi, bunda . Ravshanki, da bo'lishidan bo'lishi kelib chiqadi. Yetarliligi. Aytaylik, da bo'lsin. U holda bo'lib, undan bo'lishi kelib chiqadi. Demak, bo'ladi. ► Odatda, bu munosabat o'rinli bo'lsa, funksiya Teylor qatoriga yoyilgan deyiladi. 20. Funksiyani Teylor qatoriga yoyish. Faraz qilaylik, funksiya biror da istalgan tartibdagi hosila-larga ega bo'lsin. 2-teorema. Agar da bo'lsa, funksiya da Teylor qatoriga yoyiladi: (3) ◄ Malumki, funksiyaning Lagranj ko'rinishidagi qoldiq hadli Teylor formulasi quyidagicha bo'ladi: , bunda, . Teoremaning shartidan foydalanib topamiz: . Ravshanki, . Demak, da bo'lib, undan qaralayotgan funksiyaning Teylor qatoriga yoyilishi kelib chiqadi. ► 30. Elementar funksiyalarni Teylor qatoriga yoyish. a) Ko'rsatkichli va giperbolik funksiyalarni Teylor qatorlarini topamiz. Aytaylik, bo'lsin. Ravshanki, bo'lib, da bo'ladi. Binobarin, 2-teoremaga ko'ra funksiya da Teylor qatoriga yoyiladi va (3) formulada foydalanib topamiz: . (4) ixtiyoriy musbat son. Demak, (4) darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo'ladi. (4) munosabatda ni ga almashtirib topamiz: Malumki giperbolik sinus hamda giperbolik kosinus funksiyalari quyidagicha ta'riflanar edi. Yuqoridagi , formulalardan foydalanib topamiz: , . Bu funksiyalarining Teylor qatorlari bo'lib, ular ifodalangan darajali qatorlarning yaqinlashish radiuslari bo'ladi. b) Trigonometrik funksiyalarning Teylor qatorlarini topamiz. Aytaylik, bo'lsin. Ravshanki, da bo'lib, bo'ladi. Demak, 2-teoremaga ko'ra funksiya Teylor qatoriga yoyiladi va (3) formulaga binoan (5) bo'ladi. Aytaylik, bo'lsin. Bu funksiya uchun da bo'lib, bo'ladi. Unda 2-teoremaga ko'ra funksiya Teylor qatoriga yoyiladi va (3) formulaga binoan (6) bo'ladi. (5) va (6) darajali qatorlarning yaqinlashish radiusi bo'ladi. v) Logarifmik funksiyaning Teylor qatorini topamiz. Aytaylik, bo'lsin. Malumki, bo'lib, bo'ladi. Bu funksiyaning Teylor formulasi (7) ko'rinishga ega. funksiyani Teylor qatoriga yoyishda 1-teoremadan foydalanmiz. Buning uchun (7) formulada ning 0 ga intilishini ko'rsatish etarli bo'ladi. Aytaylik, ...