Uzluksiz funksiyani ko'phad bilan yaqinlashtirish. Veyershtrass teoremasi

Uzluksiz funksiyani ko'phad bilan yaqinlashtirish. Veyershtrass teoremasi Reja: 10. Bernshteyn ko'phadi. 20. Muhim lemma 30. Uzluksiz funksiyani ko'phad bilan yaqinlashtirish. 10. Bernshteyn ko'phadi. Aytaylik, funksiya segmentda berilgan bo'lsin. Ushbu ko'phad funksiyaning Bernshteyn ko'phadi deyiladi va kabi belgilanadi: . Bunda . Demak, Bernshteyn ko'phadi -darajali ko'phad bo'lib, uning koeffitsiyentlari funksiyaning nuqtalardagi qiymatlari orqali ifodalanadi. Masalan, , bo'ladi. 20. Muhim lemma. Ushbu , (1) (2) ayniyatlar o'rinli. ◄Nyuton-binomi formulasi da deyilsa, u holda bo'lishi kelib chiqadi. (2) ayniyatni isbotlash uchun quyidagi , yiђindilarni hisoblaymiz. Bu yiђindini hisoblashda yuqoridagi keltirilgan ning ifodasi va Nyuton binomi formulasidan foyda-lanamiz: . Demak, . (3) Endi yiђindini hisoblaymiz: Demak, . (4) Yuqoridagi (1), (3) va (4) munosabatlardan foydalanib topamiz: . ► Natija. , uchun (5) tengsizlik o'rinli bo'ladi. ◄Ravshanki, uchun bo'ladi. Bu tengsizlik va (2) munosabatdan (5) tengsizlikning o'rinli bo'lishi kelib chiqadi.► 30. Uzluksiz funksiyani ko'phad bilan yaqinlashtirish. 1-teorema. (Bernshteyn). Agar funksiya segmentda uzluksiz bo'lsa, u holda bo'ladi, bunda . (6) ◄(1) va (6) munosabatlardan foydalanib topamiz: . Kantor teoremasiga ko'ra qaralayotgan funksiya da tekis uzluksiz bo'ladi. Unda ta'rifga binoan uchun bo'lganda tengsizlik bajariladi. Malumki, ayirmani ifodalovchi yiђindida ta had bo'lib, ular ning qiymatlarida yuzaga keladi. Bu ning ushbu tengsizlikni qanoatlantiradigan qiymatlari to'plamini bilan, tengsizlikni qanoatlantiradigan qiymatlari to'plamini bilan belgilaylik. Ravshanki, bo'ladi. Shuni etiborga olib, yuqoridagi yiђindini ikki qismga ajratamiz: . Endi bu yiђindilarni baholaymiz. funksiyaning da tekis uzluksizligidan hamda lemmadan foydalanib topamiz: . Ravshanki, funksiya da chegaralangan. Unda bo'ladi. Shuni etiborga olib topamiz: . Agar bo'lishini hisobga olsak, unda lemmaga ko'ra bo'ladi. Shunday qilib, bo'ladi. Agar deyilsa, u holda bo'lib, bo'ladi. Bu munosabatdan esa bo'lishi kelib chiqadi.► Bu teoremadan da bo'lishini topamiz. Demak, da uzluksiz bo'lgan funksiya ko'phad bilan yaqinlashtirildi: Aytaylik, funksiya segmentda uzluksiz bo'lsin. Malumki, ushbu chiziqli almashtirish segmentni segmentga almashtiradi. Bu almashtirishdan foydalanib ushbu (7) funksiyani hosil qilamiz. Ravshanki, funksiya da uzluksiz bo'ladi. Yuqoridagi teoremadan foydalanib topamiz: , (8) bunda . (7) va (8) munosabatlardan bo'lishi kelib chiqadi, bunda . Shunday qilib quyidagi teoremaga kelamiz. 2-teorema (Veyershtrass). Agar funksiya segmentda uzluksiz bo'lsa, bo'ladi. Mashqlar Agar funksiya segmentda uzluksiz bo'lsa, da bo'lishi isbotlansin. Agar funksiya segmentda uzluksiz bo'lsa, bo'lishi isbotlansin, bunda - funksiyaning uzluk-siz moduli. ADABIYoTLAR RUYXATI. Piskunov N.S. differensial va integral hisob, 2- tom, T o'qituvchi, 1974. Soatov Yo. U. Oliy matematika, 1-jild, T. o'qituvchi, 1994 Smirnov V.I. Kurs visshey matematiki. M. Nauka, 1974, T.2. Yefimov A.V. . Zolotarev Yu.G. , Terpigoreva V.M. Matematicheskiy analiz (spetsialnie razdeli) M. Visshaya shkola, 1980, ch.2 Maydon nazariyasi ...