Xususiy hosilali differensial tenglamalarni yechishda to'rlar usuli

Xususiy hosilali differensial tenglamalarni yechishda to'rlar usuli. Ko'p hollarda biz xususiy hosilali differensial tenglamalarga, yani 2 va undan ko'p o'zgaruvchili differintsial tenglamalarga duch kelamiz. Masalan, (1)-issiqlik o'tkazish tenglamasi (2)-to'lqin tenglamasi. Bunda -nomalum funksiya. Bunday tenglamalarni yechishning standart usuli-bu to'rlar usulidir. Manosi nimada ? Masalan (1) tenglamani yechish kerak. , , Boshlang'ich shart; Chegaraviy shart; Buning uchun tekisligini va qadash bilan to'rlarga bo'lamiz. Endi (1) tenglamadagi hosilalarni ayirmalar bilan almashtiramiz. (3) yoki (4) deb belgilash kiritsak , (5) Chegaraviy shartlar; , bunda mq0,1 Boshlanqich shart emas; , j q 1n ko'rinishda yoziladi. (5) formula boshlang'ich va chegaraviy shartlar berilganda ixtiyori x va t uchun qiymatni ketma-ket olish imkonini beradi.yechimi Masalan, bo'lganda (1) tenglama yechimi qyidagicha bo'lar ekan Bu usul oshkor usul deyiladi. Chunki har bir qiymat undan olingan qiymat orqali aniq formula bilan hisoblanadi. Endi (1) tenglama uchun hosilalarni bu holda yozib ko'raylik; , (6) Bunda (5) bilan farqi shundaki, o'ng tomonda vaqtning m nuqtadagi emas m+1 qiymatadagi funksiya qiymati olinadi. Yani -ni hisoblash uchun -ni bilish kerak. Demak (6) ifoda -ni topish uchun tenglamalar sistemasini beradi. Yani -ni hisoblash uchun tenglamalar sistemasini yechish kerak. Shuning uchun bu usul oshkor bo'lmagan usul deyiladi. Demak m+1 qatlamdagi funksiya qiymatlari -ni olish uchun quyidagi tenglamalar sistemasini yechish kerak; belgilash bilan , (7) Bunda, oldingi usuldagiday -da yani , , -da x=1-da Sh.=. (7) =anday echiladi ? Avval m= 0, yani t=0. Unda , , , m=1 , , m=2 Bu usul oldingiga nisbatan shisoblashga kipro= va=t talab =ilishi mumkin. Lekin ani=ligi yu=oriro=. ...